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【可编辑】北京理工大学2017-2018学年工数上期末试题A及答案.doc

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可编辑 编辑 北京理工大学 2017 2018 学年 工数上 期末 试题 答案
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课程编号:H0172103 北京理工大学2017-2018学年第一学期工科数学分析(上)期末试题(A卷)座号 _______ 班级_____________ 学号_____________ 姓名_____________(试卷共6页,十个大题. 解答题必须有过程. 试卷后面空白纸撕下做草稿纸. 试卷不得拆散.)题号 一二三四五六七八九十 总分 得分签名一、填空(每小题4分,共20分)1.若 ,则 . 2.已知 则 . 3. . 4 . . 5. 设,则 .二、计算题(每小题5分,共20分)1.求极限 2. 设,求. 3. 计算.4.求的通解. 三、(8分)已知,试确定常数和的值. 四、(6分)已知证明: 数列极限存在;并求此极限. 五、(8分)求函数的单调区间和极值,凹凸区间和拐点,渐近线.六、(8分)设曲线,围成一平面图形.(1) 求平面图形的面积;(2) 求平面图形绕轴旋转所得旋转体的体积.七、(8分)设一长为的均匀细杆,线密度为,在杆的一端的延长线上有一质量为的质点,质点与该端的距离为.(1)求细杆与质点间的引力; (2)分别求如果将质点由距离杆端处移到处()与无穷远处时克服引力所做的功.八、(8分)设在上具有三阶连续导数,且证明在开区间内至少存在一点,使. 九、(8分)设, 其中连续,求的表达式. 十、(6分)已知在闭区间上连续,在开区间内可导,且 证明:存在,使成立.北京理工大学2017-2018学年第一学期《工科数学分析》(上)期末试题(A卷)标准答案及评分标准 2018年1月12日一、填空(每小题4分,共20分)1.2.3. 4 . 5. 二、计算题(每小题5分,共20分)1. 解: …………. 2分 …………. 4分 …………. 5分注:此题也可以用泰勒公式。2. 解: …………. 2分 …………. 4分 因此,. …………. 5分3.解: 原式 …………. 2分 …………. 5分4. 解: 令,则 …………. 2分 代入原方程,得: 分离变量法得: …………. 4分 将代入上式, 得通解为:. …………. 5分 三、解: 由条件知: 得 …………. 4分 …………. 6分 …………. 8分四、解: …………. 2分 所以数列单调递减有下界, 存在. …………. 4分 设则有得 (舍去) 所以, …………. 6分五、解:定义域 ,; ,. …………. 2分列表: - -+ 不存在- -++ + 拐点极小值 间断点 , 有水平渐近线: , 有垂直渐近线: …………. 8分六、解:(1)画草图,解交点 ………….2分 ………….4分(2) ………….6分 ………….8分七、解: 建立坐标系, 使细杆位于区间上, 质点位于处. (1) ………….2分 ………….4分(2) 当质点向右移至距杆端处时,细杆与质点间的引力为 将质点由处移到处与无穷远处时克服引力所做的功分别记作和. ………….6分 积分得 ………….8分八、解:由麦克劳林公式, …………….2分其中在与之间,从而 两式相减,得 …………….5分 在上连续,所以在上必有最小值和最大值 从而 …………….7分 由介值定理,至少存在一点 使得 …………….8分九、解: 上式两端对求导,得: …………….2分 再对求导得:, 则满足初值问题: …………….4分 对应齐次方程的通解为: 设非齐次方程的特解为:, 代入原方程,得: 解得: …………….6分通解为:由初始条件,得:所以 …………….8分十、证明: 构造辅助函数 ……………. 2分有 在上连续,由零点定理可知,至少存在一点 使得 ……………. 4分 又因为在上连续,在内可导,且 由罗尔定理可知,存在 使,即 ……………. 6分11 第 页 (共 6 页)
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