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等比数列习题.pdf

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等比数列 习题
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师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 1 页共5 页 习等比数列 习题 1 . 在等比数列 { a n }中, |a 1 |= 1, a 5 =- 8 a 2 , a 5 a 2 ,则 a n 等于( ) A.( - 2) n- 1 B. - ( - 2) n- 1 C.( - 2) n D. - ( - 2) n 2 . 等比数列 { a n }的前 n 项和为 S n ,且 4 a 1 ,2 a 2 , a 3 成等 差数列 . 若 a 1 = 1,则 S 4 等于( ) A .7B .8C . 15 D .16 3 . 已知在等比数列 { a n }中 , a 2 = 1,则其前 3 项的和 S 3 的取值范围是 ( ) A.( - ∞, - 1] B.( - ∞,0)∪(1, + ∞) C.[3, + ∞) D.( - ∞, - 1]∪[3, + ∞) 4 . (2 0 14 北 京海淀一模 )已知等比数列 { a n }的前 n 项和为 S n ,且 S 1 , S 2 +a 2 , S 3 成等差数列 , 则 数 列{ a n }的公比为( ) A.1 B.2 C . D.3 5 . 已知{ a n }是递增等比数列 , a 2 = 2, a 4 -a 3 = 4, 则此数列的公比 q= . 6 . 设等比数列 { a n }的前 n 项和为 S n ,且 a 5 =S 5 ,则 S 20 1 4 = . 7 .设1 =a 1 ≤ a 2 ≤ … ≤ a 7 ,其中 a 1 , a 3 , a 5 , a 7 成公比为 q 的等比数列 , a 2 , a 4 , a 6 成公 差 为 1 的 等 差 数列,则 q 的最小值是 . 8 . 等比数列 { a n }的前 n 项和为 S n ,已知 S 1 , S 3 , S 2 成等 差数列 . (1) 求{ a n } 的公比 q ; (2) 若 a 1 -a 3 = 3,求 S n . 9 . 已知等差数列 { a n }的公差 d 0 . 设{ a n }的前 n 项和为 S n , a 1 = 1, S 2 · S 3 = 36 .师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 2 页共5 页 (1) 求 d 及 S n ; (2) 求 m , k ( m , k ∈ N + )的值,使得 a m +a m+ 1 +a m+ 2 +… +a m+k = 65 . 10 . 已知数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 a n 是 S n 与 2 的等差中项, 数 列{ b n }中 , b 1 = 1,点 P ( b n , b n+ 1 ) 在直线 x-y+ 2 =0上 . (1) 求 a 1 和 a 2 的值; (2) 求数列{ a n },{ b n }的通 项 a n 和 b n ; (3) 设 c n =a n · b n ,求数 列 { c n }的 前 n 项和 T n . 答案 1.解析 :由 a 5 =- 8 a 2 ,得公比 q=- 2 . 又 a 5 a 2 ,知 a 5 0,∴ a 1 0,∴ a 1 = 1 . ∴ a n =a 1 q n- 1 = ( - 2) n- 1 . 2 .解析: 设等比数列的公比为 q ,则由 4 a 1 ,2 a 2 , a 3 成等差数列 , 得 4 a 2 = 4 a 1 +a 3 , ∴4 a 1 q= 4 a 1 +a 1 q 2 . ∴ q 2 - 4 q+ 4 = 0 . ∴ q= 2 . ∴ S 4 = 15 . 3.答案 :D 4. 解 析 : 因 为 S 1 , S 2 +a 2 , S 3 成等差数列,所以 2( S 2 +a 2 ) =S 1 +S 3 ,2( a 1 +a 2 +a 2 )=a 1 +a 1 +a 2 +a 3 , a 3 = 3 a 2 , q= 3 .选D .师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 3 页共5 页 5.解析 :设 { a n }的公 比 为 q ,则 a 4 =a 2 q 2 , a 3 =a 2 q. 所以 a 4 -a 3 =a 2 q 2 -a 2 q=4,又 a 2 = 2, 所以 q 2 -q- 2 =0, 解得 q=2或 q=- 1 . 又{ a n }为递 增数列,则 q= 2 . 6 .解析:根据数列前 n 项和的定义知 S 5 =a 1 +a 2 +a 3 +a 4 +a 5 =a 5 ,故 a 1 +a 2 +a 3 +a 4 = 0, 即 a 1 (1 +q+q 2 +q 3 ) =a 1 (1 +q)(1 +q 2 ) = 0,从而 1 +q= 0, q=- 1,所以这个等比数列的相邻两项的和都 是 0,所以 S 20 1 4 = 0 . 7.解析 :由 题 意知 1 ≤ a 2 ≤ q ≤ a 2 + 1≤ q 2 ≤ a 2 + 2≤ q 3 , ∴ 解得 q ≥ . 8.解:(1)依题 意 有 a 1 + ( a 1 +a 1 q ) =2( a 1 +a 1 q+a 1 q 2 ), ∵ a 1 ≠0, ∴2 q 2 +q= 0 . 又 q ≠0, 从而 q=- . (2) 由已知可得 a 1 -a 1 = 3,故 a 1 = 4, ∴ S n = . 9.解:(1)由题 意 知 ( 2 a 1 +d )(3 a 1 + 3 d ) = 36, 将 a 1 = 1 代 入上式解得 d=2或 d=- 5 . 因为 d0, 所以 d= 2 . 从而 a n = 2n- 1, S n =n 2 ( n ∈ N + ) .师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 4 页共5 页 (2)由(1)得 a m +a m+ 1 +a m+ 2 +…+a m+ k = (2 m+k- 1)( k+ 1) . 所以(2 m+k- 1)( k+ 1) = 65 . 由 m , k ∈ N + 知2 m+k- 1 k+ 1 1, 所以 10. 解:(1) ∵ a n 是 S n 与 2 的等差中项 , ∴ S n = 2 a n -2, ∴ a 1 =S 1 = 2 a 1 - 2,解得 a 1 = 2 . a 1 +a 2 =S 2 = 2 a 2 - 2,解得 a 2 = 4 . (2)∵ S n = 2 a n -2, S n- 1 = 2 a n- 1 - 2, 又 S n -S n- 1 =a n ( n ≥2 , n ∈ N + ), ∴ a n = 2 a n - 2 a n- 1 , ∵ a n ≠0, ∴ = 2( n ≥2 , n ∈ N + ), 即数列 { a n }是等比数列 . ∵ a 1 = 2, ∴ a n = 2 n . ∵点 P ( b n , b n+ 1 )在直线 x-y+ 2 =0上 , ∴ b n -b n+ 1 + 2 = 0, ∴ b n+ 1 -b n = 2,即数 列{ b n } 是等差数列 . 又 b 1 =1, ∴ b n = 2 n- 1 . (3)∵ c n = (2n- 1)2 n ,师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 5 页共5 页 ∴ T n =a 1 b 1 +a 2 b 2 +…+a n b n = 1 × 2 + 3 × 2 2 + 5 × 2 3 +…+ (2 n-1)2 n , ∴2 T n = 1 × 2 2 + 3 × 2 3 +… +(2n- 3)2 n + (2 n-1)2 n+ 1 . 因此 -T n = 1 × 2 +(2 × 2 2 + 2 × 2 3 +…+ 2 × 2 n ) - (2 n-1)2 n+ 1 , 即 -T n = 1 × 2 + (2 3 + 2 4 +… + 2 n+ 1 ) - (2n- 1)·2 n+ 1 , ∴ T n = (2n- 3)2 n+ 1 + 6 .
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