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双曲线习题.pdf

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双曲线 习题
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师出教育 电话:400-600-2690 咨询 QQ:1400700402 第 -1- 页共4 页 双曲线习题 1 、 若椭圆  0 1 2 2   n m n y m x   与双曲线 22 1 xy ab   ) 0 (  b a 有相同的焦 点 F 1 ,F 2 , P 是两条曲线 的一个交点, 则| P F 1 |·| P F 2 |的值是 ( ) A. a m  B.  a m  2 1 C. 2 2 a m  D. a m  2 、 已知双曲 线 1 27 9 2 2   y x 与点 M ( 5, 3) , F 为右焦点 , 若双曲线 上有一点 P, 使 PM PF 2 1  最小 , 则 P 点的坐 标为 3 、过点(1,3)且渐近线为 x y 2 1   的双曲线方程是 4、两共轭双曲线的离心率分别为 2 1 ,e e ,证明: 22 12 11 ee  =1 . 5、设 C D 是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦,求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角. 6、如图, 1 F 和 2 F 分别是双曲线 ) 0 , 0 ( 1 2 2 2 2     b a b y a x 的两个焦点,A 和B 是以O 为圆心,以 1 F O 为半径的圆 与该双曲线左支的两个交点,且△ AB F 2 是等边三角形,则双 曲线的离心率为( ) (A) 3 (B) 5 (C) 2 5 (D) 3 1  7、直线l 过双曲线 1 2 2 2 2   b y a x 的右焦点 ,斜率k=2. 若l 与双曲线的两个交点分 别在左右两支上,则双曲线的离心率e 的范围是 ( ) A.e 2 B.1 5 8 、 设P 为双曲线 2 2 1 12 y x 上的一点, 12 FF , 是该双曲线的两个焦点, 若 12 || : ||3 : 2 PF PF  ,则 12 PFF △ 的面积为 () A .63 B .12 C.12 3 D .24 9、双曲线 1 2 2   y x 的一弦中点为(2,1) ,则此弦所在的直线方程为 ( ) A. 1 2   x y B. 2 2   x y C. 3 2   x y D. 3 2   x y 1 0 、 在双曲线 1 2 2 2   y x 上, 是否存在被点 M( 1, 1) 平分的弦?如果存在, 求弦所在的直线方程 ; 如不存在, 请说 明理由.师出教育 电话:400-600-2690 咨询 QQ:1400700402 第 -2- 页共4 页 答案 1、 【解析】椭圆的长半轴为   12 21 mP FP F m  , 双曲线的实半轴为   12 22 aP FP F a   ,    22 12 12 124 4 PF PF m a PF PF m a        : ,故选 A . 【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义,是破解本题的关键. 2、 【解析】双曲线的右焦点 F(6,0) ,离心率 2 e  , 右准线为 3 2 lx  : . 作MNl  于 N ,交双曲线右支于 P , 连 FP ,则 1 2 2 PF e PN PN PN PF . 此时 PM 13 7 5 22 5 PF PM PN MN    为最小. 在 1 27 9 2 2   y x 中,令 3 y  ,得 2 12 2 3. xxx     0, 取 23 x  .所求 P 点的坐标为233 (, ) . 3、 【解析】设所求双曲线为  2 2 1 4 x yk  点(1,3)代入: 13 5 9 44 k  .代入(1) : 22 2 2 35 4 1 443 5 3 5 xy x y   即为所求. 4、 【证明】双曲线 22 22 1 xy ab  的离心率 222 2 11 22 cca b ee aaa   ; 双曲线 22 22 1 xy ba  的离心率 222 2 22 22 cca b ee bbb   . ∴ 22 222222 12 11 1 ab eeabab     . 5、 【证明】如图设等轴双曲线方程为   222 1 xya  , 直线 C D :y = m . 代入(1) : 22 x xm   .故有:     22 22 ,, , C xmmDxmm   . 取双曲线右顶点  ,0 B a .那么:     22 22 ,, , BCxma m B Dxma m          师出教育 电话:400-600-2690 咨询 QQ:1400700402 第 -3- 页共4 页  2222 0, BCB D a a m m B C B D             .即∠C BD =9 0°. 同理可证:∠C A D = 9 0 °. 6、 【解析 】设 A B 交 x 轴于 M,并设双曲线半焦距为 c,∵△ AB F 2 是等边三角形,∴ 3 ,. 22 c OM MA c  点 3 , 22 c Ac      代入双曲线方程:   2 2222 22 222 22 22 3 34 44 c baca bc caa ca ca       .化简得: 42 24 42 2 84084 04 2 33 1 ca ca ee e e       . (∵e>1,∴ 2 423 e  及 31 e 舍去) 故选 D. 7、 【解析】如图设直线l 的倾斜角为α,双曲线渐近线 m 的倾斜角为β.显然。当β>α时直线l 与双曲线的两 个交点分别在左右两支上. 由 22 2 2 tan tan 2 4 5 bca e aa         . ∵双曲线中 1 e  ,故取e 5 . 选 D. 8、 【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是: 1, 2 3, 13 ab c   .设; 1212 3, 2. 2 2, 2. PF r PF r PF PF a r      于是 22 2 12121 2 6, 4. 52 PF PF PF PF FF    , 故知△PF1F2 是直角三角形,∠F1PF 2=90 °. ∴ 12 12 11 641 2 22 PFF SP F P F      .选 B. 9、 【解析】设弦的两端分别为    1, 1 2, 2 , Axy Bxy .则有:   22 2222 11 1212 1212 22 1212 22 1 0 1 xy y yxx xxyy x xyy xy            . ∵弦中点为(2,1) ,∴ 12 12 4 2 xx yy        .故直线的斜率 1212 1212 2 yyxx k xxyy      . 则所求直线方程为:  12 2 23 y xyx     ,故选 C. 1 0 、如果不问情由地利用“设而不求”的手段,会有如下解法: 【错解】假定存在符合条件的弦 A B ,其两端分别为:A(x 1 ,y 1 ) ,B(x 2 ,y 2 ).那么:师出教育 电话:400-600-2690 咨询 QQ:1400700402 第 -4- 页共4 页     22 11 1212 1212 22 22 1 1 1 2 01 1 2 1 2 xy xxxx yyyy xy              . ∵M(1,1)为弦 AB 的中点, ∴      12 12 1212 12 12 2 02 2 AB xx yy xx yy k yy xx          代入 1 :2 , 故存在符合条件的直线 A B ,其方程为:   12 1 21 y xyx     ,即 . 这个结论对不对呢?我们只须注意如下两点就够了: 其一:将点 M(1,1)代入方程 1 2 2 2   y x ,发现左式=1 - 11 22  <1,故点 M(1, 1)在 双曲线的外 部; 其二: 所求直线 A B 的斜率 2 AB k  , 而双曲线的渐近线为 2 y x  . 这里 22  , 说明所求直线不可能 与双曲线相交, 当然 所得结论也是荒唐的. 问题出在解题过程中忽视了直线与双曲线有公共点的条件. 【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由    2 2 2 22 1 221224302 2 21 y x xx xx yx           这里 16 24 0    ,故方程(2)无实根,也就是所求直线不合条件. 此外 ,上述 解法 还疏 忽了一 点:只 有 当 12 x x  时才 可能求 出 k=2. 若 12 12 0 xx y   ,必有y . 说明 这时直 线与双 曲线只有一个公共点,仍不符合题设条件. 结论;不存在符合题设条件的直线.
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