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等比数列的性质总结.pdf

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等比数列 性质 总结
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师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 -1-页共3 页 等比数列性质 1. 等比数列的定义:  * 1 2, n n a qq n nN a   0且 ,q 称为公比 2. 通项公式:  1 1 11 0, 0 nnn n a a aq q ABaq AB q      , 首项: 1 a ;公比:q 推广: nm nm aaq   , 从而得 nm n m a q a   或 n nm m a q a   3. 等比中项 (1 )如果 ,, aAb 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即: 2 Aa b  或Aa b  注意:同号 的 两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两 个(两个等比中项互为相反数) (2)数列 n a 是等比数列  2 11 nnn aaa   4. 等比数列的前n 项和 n S 公式: (1) 当 1 q  时, 1 n Sn a  (2) 当 1 q  时,  1 1 1 11 n n n aq aaq S qq     11 '' 11 nnn aa qAA BA BA qq     ( ,,' ,' ABAB 为常数) 5. 等比数列的判定方法 (1 )用定义:对任意的n, 都有 1 1 (0 ) n nn n n a aq a q q a a    或 为常数, {} n a 为等比数列 (2 ) 等比中项: 2 11 nnn aaa   ( 11 nn aa  0 ) {} n a 为等比数列 (3 ) 通项公式:  0 n n aABAB   {} n a 为等比数列 (4)前n 项和公式:   '' , , ' , ' nn nn SAA BSA BAA B AB    或 为常数 {} n a 为等比数列 6. 等比数列的证明方法师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 -2-页共3 页 依据定义:若  * 1 2, n n a qq n nN a   0且 或 1nn aq a   {} n a 为等比数列 7. 注意 (1) 等比数列的通项 公式及前n 和公式中 , 涉及到 5 个元素: 1 a 、q 、n 、 n a 及 n S ,其 中 1 a 、q 称作为 基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 (2) 为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项; 1 1 n n aa q   如奇数个数成等差,可设为…, 2 2 ,,,, aa aaqaq qq …(公比为q ,中间项用a 表示) ; 8. 等比数列的性质 (1) 当 1 q  时 ①等比数列通项公式  1 1 1 0 nnn n a a aq q AB AB q     是关于n 的带有系数的类指数函数, 底数为公比q ②前n 项和  1 111 1 1 '' 1111 n n nnn n aq aa qa a Sq A A B A B A qqqq        , 系数和常数项是互为相反 数的类指数函数,底数为公比q (2) 对任何m,n  * N , 在等比数列{} n a 中, 有 nm nm aaq   , 特别的, 当m=1 时, 便得到等比数列的通项 公式. 因此, 此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。 (3) 若m+n=s+t (m, n, s, t  * N ), 则 nmst aaaa  . 特别的, 当n+m=2k 时, 得 2 nmk aaa  注: 1213 2 nnn aaaa aa      (4) 列{} n a ,{} n b 为等比数列, 则数列{} n k a ,{} n ka  ,{} k n a ,{} nn kab   {} n n a b (k 为非零常数) 均为等比 数列. (5) 数列{} n a 为等比数列, 每隔k(k  * N ) 项取出一项( 23 ,,,, mmkmkmk aaa a   ) 仍为等比数列 (6) 如果{} n a 是各项均为正数的等比数列, 则数列{log } an a 是等差数列 (7) 若{} n a 为等比数列, 则数列 n S , 2nn SS  , 32 , nn SS   ,成等比数列 (8) 若{} n a 为等比数列, 则数列 12 n aa a   , 122 nn n aa a    , 2122 3 nn n aa a    成等比数列 (9) ①当 1 q  时, ②当 1 q  0 时, 1 1 0{} 0{} { n n aa aa   ,则 为递增数列 ,则 为递减数列, 1 1 0{} 0{} { n n aa aa   , 则 为递 减数列 ,则 为递增数列师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 -3-页共3 页 ③当q=1 时, 该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当q0 时, 该数列为摆动数列. (10) 在等比数列{} n a 中, 当项数为2n (n  * N ) 时, 1 S Sq  奇 偶 ,. (11) 若{} n a 是公比为q 的等比数列, 则 n nm n m SSqS   
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