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极限 知识点
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师出教育 电话:400-600-2690 咨询 QQ:1400700402 第 1 页共3 页 极限知识点 1. ⑴第一数学归纳 法: ①证明当n 取第一个 0 n 时结论正确 ; ②假设当 k n  ( 0 , n k N k    ) 时, 结论正确, 证明当 1  k n 时,结论成立. ⑵第二数学归纳法:设 ) (n P 是一个与正整数n 有关的命题,如果 ①当 0 n n  (  N n 0 )时, ) (n P 成立; ②假设当 k n  ( 0 , n k N k    )时, ) (n P 成立,推得 1  k n 时, ) (n P 也成立. 那么,根据①②对一切自然数 0 n n  时, ) (n P 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法: ① a a n n    lim ②当   n 时, a a n  . ⑵几个常用极限: ① C C n    lim (C 为常数) ② ) , ( 0 1 lim 是常数 k N k n k n     ③对于任意实常数, 当 1 | |  a 时, 0 lim    n n a 当 1  a 时,若a=1 ,则 1 lim    n n a ;若 1   a ,则 n n n n a ) 1 ( lim lim       不存在 当 1  a 时, n n a   lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则: 如果 b b a a b n n n       lim , lim ,那么 ① b a b a n n n      ) ( lim ② b a b a n n n      ) ( lim ③ ) 0 ( lim     b b a b a n n n 特别地,如果C 是常数,那么 Ca a C a C n n n n n           lim lim ) ( lim . ⑷数列极限的应用: 求无穷数列的各项和,特别地,当 1  q 时,无穷等比数列的各项和为 ) 1 ( 1 1  q q a S   . (化循环小数为分数方法同上式) 注:并不是每一个无穷数列都有极限.师出教育 电话:400-600-2690 咨询 QQ:1400700402 第 2 页共3 页 3. 函数极限; ⑴当自变量x 无限趋近于常数 0 x (但不等于 0 x )时,如果函数 ) (x f 无限趋进于一个常数a ,就是说当x 趋近于 0 x 时, 函数 ) (x f 的极限为a. 记作 a x f x x   ) ( lim 0 或当 0 x x  时, a x f  ) ( . 注: 当 0 x x  时, ) (x f 是否存在极 限与 ) (x f 在 0 x 处是否定 义无关,因为 0 x x  并不要求 0 x x  . (当然 , ) (x f 在 0 x 是 否有定义也与 ) (x f 在 0 x 处是否存在极限无关.  函数 ) (x f 在 0 x 有定义是 ) ( lim 0 x f x x  存在的既不充分又不必要条件. ) 如        1 1 1 1 ) (   x x x x x P 在 1  x 处无定义,但 ) ( lim 1 x P x  存在,因为在 1  x 处左右极限均等于零. ⑵函数极限的四则运算法则: 如果 b x g a x f x x x x     ) ( lim , ) ( lim 0 0 ,那么 ① b a x g x f x x     )) ( ) ( ( lim 0 ② b a x g x f x x     )) ( ) ( ( lim 0 ③ ) 0 ( ) ( ) ( lim 0    b b a x g x f x x 特别地,如果C 是常数,那么 ) ( lim )) ( ( lim 0 0 x f C x f C x x x x     . n x x n x x x f x f )] ( lim [ )] ( [ lim 0 0    (  N n ) 注:①各个函数的极限都应存在. ②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况,但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限: ① 0 1 lim    x n ② 0 lim    x x a (0 <a <1 ) ; 0 lim    x x a (a >1 ) ③ 1 sin lim 0   x x x 1 sin lim 0    x x x ④ e x x x     ) 1 1 ( lim , e x x x    1 0 ) 1 ( lim ( 71828183 . 2  e ) 4. 函数的连续性: ⑴如果函数f (x ) ,g (x )在某一点 0 x x  连续,那么函数 ) 0 ) ( ( ) ( ) ( ), ( ) ( ), ( ) (    x g x g x f x g x f x g x f 在点 0 x x  处都连续. ⑵函数f (x )在点 0 x x  处连续必须满足三个条件: ①函数f (x )在点 0 x x  处有定义;② ) ( lim 0 x f x x  存在;③函数f (x )在点 0 x x  处的极限值等于该点的函数值,即 ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x   . ⑶函数f (x )在点 0 x x  处不连续(间断)的判定:师出教育 电话:400-600-2690 咨询 QQ:1400700402 第 3 页共3 页 如果函数f (x )在点 0 x x  处有下列三种情况之一时,则称 0 x 为函数f (x )的不连续点. ①f (x )在点 0 x x  处没有定义,即 ) ( 0 x f 不存在;② ) ( lim 0 x f x x  不存在;③ ) ( lim 0 x f x x  存在,但 ) ( ) ( lim 0 0 x f x f x x   . 5. 零点定理,介值定理,夹逼定理: ⑴零点定理:设函数 ) (x f 在闭区间 ] , [ b a 上连续,且 0 ) ( ) (  b f a f  . 那么在开区间 ) , ( b a 内至少有函数 ) (x f 的一个零点, 即至少有一点  (a <  <b )使 0 ) (   f . ⑵介值定理: 设函数 ) (x f 在闭区间 ] , [ b a 上连续, 且在这区间的端点取不同函数值, B b f A a f   ) ( , ) ( , 那么对于 B A, 之 间任意的一个数C ,在开区间 ) , ( b a 内至少有一点  ,使得 C f  ) (  (a <  <b ). ⑶夹逼定理:设当    | | 0 0 x x  时,有 ) (x g ≤ ) (x f ≤ ) (x h ,且 A x h x g x x x x     ) ( lim ) ( lim 0 0 ,则必有 . ) ( lim 0 A x f x x   注: | | 0 x x  :表示以 0 x 为的极限,则 | | 0 x x  就无限趋近于零. (  为最小整数) 6. 几个常用极限: ① 1 , 0 lim  q q n n    ② ) 0 ( 0 ! lim  a n a n n    ③ k a a n n k n , 1 ( 0 lim     为常数) ④ 0 ln lim    n n n ⑤ k n n k n , 0 ( 0 ) (ln lim       为常数)
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