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多面体知识点.pdf

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多面体 知识点
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师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 1 页共3 页 多面体 (1)棱柱: ①定义: 有两个面互相平行 , 其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公 共边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。 棱柱 侧棱不垂直于底面 斜棱柱 侧棱垂直于底面 直棱柱 底面是正多边形 正棱 柱; 四棱柱 底面是平行四边形 平行六面体 侧棱垂直于底面 直平行六面体 底面是矩形 长方体 底面是正方形 正四棱柱 棱长都相等 正方体。 ②性质:Ⅰ、侧面都是平行四边形; Ⅱ、两底面是全等多边形; Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等;对角面是平行四边形; Ⅳ、长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和。 ③面积: ch S  直棱 柱侧 (c 是底周长,h 是高) ④体积: d S Sh V 侧面 棱柱 2 1   (S 为底面积,h 为高,d 为已知侧面与它对棱的距离) (2)棱锥: ①定义: 有一个面是多边形 , 其余各面是有一个公共顶点 的三角形 , 由这些面围成的几 何体叫做棱锥; 正棱锥: 底面是正多边形 , 并且顶点在底面内的射影是 底面中心 , 这样的棱锥叫做正棱 锥; ②性质: Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似, 截面的边长和底面的对应边边长的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的比; 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比; 截得的棱锥的体积与原 棱锥的体积的比等于截得的棱 锥的高与原棱锥的高的立方 比; Ⅱ、正棱锥性质:各侧面都是全等的等腰三角形;通过四个直角三角形 POH Rt  , POB Rt  , PBH Rt  , BOH Rt  实现边,高,斜高间的换算 ③面积: ' 2 1 ch S  正棱锥 (c 为底周长, ' h 为斜高) ④体积: Sh V 3 1  棱锥 (S 为底面积,h 为高) (3) 正四面 体 : 对 于棱长 为a 正四 面 体的 问题可 将它补 成 一个边 长为 a 2 2 的 正方体 问题 。 A B C D P O H师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 2 页共3 页 对 棱间的 距离 为 a 2 2 (正 方体的 边 长) 正 四面体 的高 a 3 6 ( 正方体体对角线 l 3 2  ) 正 四面体 的体 积 为 3 12 2 a ( 正方体 小三棱锥 正方体 V V V 3 1 4   ) 正四 面 体的 中心到 底面与 顶 点的距 离之比 为 3 : 1 ( 正方体体对角线 正方体体对角线 :l l 2 1 6 1  ) 外 接球的 半径 为 a 4 6 (是 正方体 的 外接 球 ,则半 径 正方体体对角线 l 2 1  ) 内 切球的 半径 为 a 12 6 (是 正四面 体 中心 到四个面 的距 离 ,则半 径 正方体体对角线 l 6 1  ) (4)正多面体: ①定义: 每个面都是有相同边数的正多边形, 且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱 的多面体叫做正多面体。 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体 面数F 4681 22 0 顶点数V 4862 01 2 棱数E 61 21 23 03 0 面的形状 正三角形 正方形 正三角形 正五边形 正三角形 顶点的棱数 3 3 4 3 5 ②欧拉公式: 2    E F V (V 为简单多面体的顶点数,F 为面数,E 为棱数) 2 2 2 1 2 1 V F m m m n n n E           ( i n 表示各个面上的棱数, i m 表示过各个顶点的棱数) 八、球 (1)定义 : ①球面: 半圆以它的直径为旋 转轴,旋 转所成的曲 面。 ②球体: 球面所围 成的几何体。 (2)性质: ①任意截面是圆面 (经过球心的平面, 截得的圆叫大圆, 不经过球心的平面截得的圆 叫小 圆) 两点的球面距离,是指经过球面上这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长。 ②球心和截面圆心的连线垂直于截面, 并且 2 2 d R r   ,其 中R 为球半径,r 为截面 半径,d 为球心的到截面的距离。师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 3 页共3 页 (3) 面积公式: 2 4 R S   球面 (R 为球半径) ; ( 4) 体积公式 : 3 3 4 R V   球 (R 为球半 径)
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