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放缩法类型总结.pdf

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放缩法 类型 总结
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师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 1 页共3 页 用放缩法处理数列和不等问题 一.先求和 后放缩(主要 是 先裂项求和, 再放缩处理) 例 1 . 正数数 列 n a 的前n 项的 和 n S ,满足 1 2   n n a S , 试求: (1)数 列 n a 的通 项公式 ; (2)设 1 1   n n n a a b ,数 列 n b 的前n 项 的和为 n B ,求 证: 2 1  n B 解 :( 1 )由已 知得 2 ) 1 ( 4   n n a S , 2  n 时, 2 1 1 ) 1 ( 4     n n a S , 作 差得: 1 2 1 2 2 2 4       n n n n n a a a a a ,所 以 0 ) 2 )( ( 1 1       n n n n a a a a , 又因为 n a 为 正 数数列 ,所以 2 1    n n a a ,即 n a 是 公差为 2 的等差 数 列, 由 1 2 1 1  a S ,得 1 1  a ,所 以 1 2   n a n (2) ) 1 2 1 1 2 1 ( 2 1 ) 1 2 )( 1 2 ( 1 1 1          n n n n a a b n n n ,所 以 2 1 ) 1 2 ( 2 1 2 1 ) 1 2 1 1 2 1 5 1 3 1 3 1 1 ( 2 1            n n n B n  二.先放缩 再求和 1 . 放缩后成等比 数列,再 求和 例 2. 等 比数列   n a 中, 1 1 2 a   ,前 n 项的和 为 n S ,且 798 ,, SSS 成 等差数 列 . 设 n n n a a b   1 2 ,数 列 n b 前n 项 的和为 n T , 证明: 1 3 n T  . 解: ∵ 9789 A Aaa  , 899 A Aa   , 899 aaa   ,∴ 公比 9 8 1 2 a q a   . ∴ n n a ) 2 1 (   . n n n n n n b 2 3 1 ) 2 ( 4 1 ) 2 1 ( 1 4 1         . (利用 等比数 列 前 n 项和的 模拟公 式 n n SA qA  猜想 ) ∴ n n b b b B     2 1 3 1 ) 2 1 1 ( 3 1 2 1 1 ) 2 1 1 ( 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 2               n n  . 2 . 放缩后为“差 比 ”数列, 再求和师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 2 页共3 页 例 3 . 已知数 列{} n a 满足 : 1 1  a , ) 3 , 2 , 1 ( ) 2 1 ( 1      n a n a n n n .求证 : 1 1 2 1 3       n n n n a a 证明 :因为 n n n a n a ) 2 1 ( 1    ,所 以 1  n a 与 n a 同 号,又 因为 0 1 1   a ,所以 0  n a , 即 0 2 1     n n n n a n a a ,即 n n a a  1 . 所 以数列{} n a 为 递 增数列 ,所以 1 1  a a n , 即 n n n n n n a n a a 2 2 1     , 累 加得: 1 2 1 2 1 2 2 2 1        n n n a a  . 令 1 2 2 1 2 2 2 1       n n n S  ,所以 n n n S 2 1 2 2 2 1 2 1 3 2       , 两式相 减得 : n n n n S 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 3 2          ,所 以 1 2 1 2     n n n S ,所 以 1 2 1 3     n n n a , 故得 1 1 2 1 3       n n n n a a . 3 . 放缩后成等差 数列,再 求和 例 4 . 已知各 项均 为正数 的数列{} n a 的前n 项和为 n S ,且 2 2 nnn aaS  . (1) 求 证 : 22 1 4 nn n aa S    ; (2) 求 证 : 1 12 1 22 nn n SS SS S         解 :( 1 )在条 件中, 令 1  n ,得 1 1 1 2 1 2 2 a S a a    , 1 0 1 1    a a  ,又 由条件 n n n S a a 2 2   有 1 1 2 1 2      n n n S a a , 上 述 两 式相减 ,注意 到 n n n S S a     1 1 得 0 ) 1 )( ( 1 1       n n n n a a a a 0 0 1      n n n a a a  ∴ 1 1 nn aa    所以 , n n a n      ) 1 ( 1 1 , (1 ) 2 n nn S   所以 4 2 ) 1 ( 2 1 2 ) 1 ( 2 1 2 2 2          n n n a a n n n n S (2)因 为 1 ) 1 (     n n n n ,所 以 2 1 2 ) 1 ( 2     n n n n ,所 以师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 3 页共3 页 2 ) 1 ( 2 3 2 2 2 1 2 1          n n S S S n   2 1 2 3 2 2      n  2 1 2 2 3 1 2      n S n n ; 2 2 2 ) 1 ( 2 2 2 2 1 2 1 n n S n n n S S S           
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