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等差数列的性质总结.pdf

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等差数列 性质 总结
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师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 1 第 1 页共3 页 等差数列的性质总结 1.等差数列的定义: d a a n n   1 (d 为常数) ( 2  n ) ; 2. 等差 数 列 通 项公式 : * 11 (1 ) ( ) n aandd nadnN  , 首项: 1 a ,公差: d ,末项: n a 推广 : d m n a a m n ) (    .从 而 m n a a d m n    ; 3 .等 差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即: 2 b a A   或 b a A   2 (2)等差中项:数列 n a 是等差数列 ) 2 ( 2 1 1 -      n a a a n n n 2 1 2      n n n a a a 4 .等差 数列的 前 n 项和 公式 : 1 () 2 n n na a S   1 (1 ) 2 nn na d   2 1 1 () 22 d nad n  2 AnB n  (其中A、B是常数,所以当d≠0时,S n 是关于n的二次式且常数项为0) 特别 地 ,当 项数为 奇数21 n  时, 1 n a  是项数为 2n+1 的等差数列的中间项     121 21 1 21 21 2 n nn naa Sn a      (项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项) 5 .等差 数列的 判定 方 法 (1) 定义法:若 d a a n n   1 或 d a a n n   1 (常数  N n )    n a 是等差数列. (2) 等差中项:数列 n a 是等差数列 ) 2 ( 2 1 1 -      n a a a n n n 2 1 2      n n n a a a . ⑶数列 n a 是等差数列  b kn a n   (其中 b k, 是常数)。 (4)数列 n a 是等差数列  2 n SA nB n  ,(其中A、B是常数)。 6 .等差 数列的 证明 方 法 定义法:若 d a a n n   1 或 d a a n n   1 (常数  N n )    n a 是等差数列. 7. 提醒 : (1) 等差数列的通 项公式及前n 和公式中, 涉及到 5 个元素: 1 a 、d 、n 、 n a 及 n S ,其 中 1 a 、d 称作为基本元 素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2。 ( 2)设 项技巧 : ①一 般可设 通项 1 (1 ) n aand  ②奇数个数成等差,可设为…, 2, ,, , 2 adada adad  …(公差为d ) ; ③偶数个数成等差,可设为…, 3, , , 3 adadadad  ,…( 注 意;公 差为 2d ) 8. .等 差数 列的性 质 : (1)当公差 0 d  时, 等差数列的通项公式 11 (1 ) n aandd nad  是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ; 前n 和 2 11 (1 ) () 222 n nn d d Sn a dnan    是关于n 的二次函数且常数项为 0. (2)若公差 0 d  ,则为递增等差数列,若公差 0 d  ,则为递减等差数列,若公差 0 d  ,则为常数列。 (3)当mnpq  时,则有 q p n m a a a a    ,特别地,当 2 mn p   时,则有 2 mnp aaa  . 注: 121 32 nnn aaaaaa       ,师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 2 第 2 页共3 页 (4)若   n a 、   n b 为等差数列,则     12 nnn abab   , 都为等差数列 (5 ) 若 { n a }是等差数列,则 232 ,, nnnnn SS SS S  ,…也成等差数列 (6)数列{} n a 为等差数列, 每隔k(k  * N ) 项取出一项( 23 ,,,, mmkmkmk aaa a   ) 仍为等差数列 (7)设数列 n a 是等差数列,d 为公差, 奇 S 是奇数项的和, 偶 S 是偶数项项的和, n S 是前 n 项的和 1.当项数为偶数 n 2 时,  121 135 21 2 n nn na a Saaa a n a           奇  22 246 2 1 2 n nn na a Saaa a n a          偶  11 = nnnn S S na na n a a nd    偶奇 11 nn nn S na a Sn aa   奇 偶 2、当项数为奇数 1 2  n 时,则 21 (2 1) ( 1) 1 n SSSnaSnaS n SSa Sn a Sn                 n +1 n+1 奇偶 奇 奇 n+1 n+1 奇偶 偶 偶 (其中a n+ 1 是项数为 2n+1 的等差数列的中间项) . (8) n a 、{} n b 的前n 和分别为 n A 、 n B ,且 () n n A f n B  , 则 21 21 (2 1) (2 1) (2 1) nnn nnn anaA fn bnbB      . (9)等差数列{} n a 的前 n 项和 m Sn  ,前m 项和 n Sm  ,则前m+n 项和  mn Sm n   (1 0) 求 n S 的最值 法一: 因等差数列前n 项和是关于n 的二次函数, 故可转化为求二次函数的最值, 但要注意数列的特殊性 * nN  。 法二: (1) “首正”的递减等差数列中,前n 项和的最大值是所有非负项之和 即当 , , 0 0 1   d a 由       0 0 1 n n a a 可得 n S 达到最大 值时的n 值. (2) “首负”的递增等差数列中,前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即当 , , 0 0 1   d a 由       0 0 1 n n a a 可得 n S 达到最小 值时的n 值. 或求 n a 中正负分界项 法三 :直接利用二 次函数的对称 性: 由于等 差数列前 n 项和的图像是 过原点的二次 函数,故 n 取离二次函数 对称轴最 近的整数时, n S 取最大值(或最小值) 。若 S p = S q 则其对称轴为 2 pq n  师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 3 第 3 页共3 页 注意:解决 等差数列问题时,通常考虑两类方法: ①基 本量法 :即 运 用条 件 转化为 关 于 1 a 和d 的方 程; ② 巧妙 运 用 等差 数列的 性 质, 一般地运 用性 质 可以化 繁为简 ,减 少 运算量 .
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