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直线与圆习题.pdf

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直线 习题
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师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 -1-页共4 页 直线与圆的方程 1 .设a ∈R ,则“a =1 ”是“直 线l1 :ax +2y -1 =0 与直线 l2 :x +2y +4 =0 平行”的() A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 2 .已知过点P(2,2) 的直线与圆(x -1) 2 +y 2 =5 相切,且与直线ax -y +1 =0 垂直,则a =() A .- 1 2 B .1C .2D . 1 2 3 .已知直线l 过圆 x 2 +(y -3) 2 =4 的圆心,且与直线x +y +1 =0 垂直,则l 的方程是() A .x +y -2 =0B .x -y +2 =0C .x +y -3 =0D .x -y +3 =0 4 .直线x +2y -5 + 5 =0 被圆x 2 +y 2 -2x -4y =0 截得的弦长为() A .1B .2C .4D . 4 6 5 .过点(3,1) 作圆(x -2) 2 +(y -2) 2 =4 的弦,其中最短弦的长为________ . 6.设 m ,n ∈R , 若直线 l :mx +ny -1 =0 与 x 轴相交 于点 A,与 y 轴相交 于点 B,且 l 与圆 x 2 +y 2 =4 相交所 得弦的 长为 2 ,O 为坐标原点,则△AOB 面积的最小值为________ . 7 .若圆C 经过坐标原点和点(4,0) ,且与直线y =1 相切,则圆 C 的方程是_____________ . 8 .直线l1 :y =x +a 和 l2 :y =x +b 将单位圆 C :x 2 +y 2 =1 分成长度相等的四段弧,则a 2 +b 2 =________. 9 .若圆C 的半径为 1 ,其圆心与点(1,0) 关于直线 y =x 对称,则圆 C 的标准方程为______________________ . 10 . 圆心在直线 x -2y =0 上的圆 C 与 y 轴的正半轴相 切 , 圆 C 截x 轴所得弦的长 为23 ,则 圆 C 的标准方程为_ _ . 11 .已知椭圆C :x 2 +2y 2 =4. (1) 求椭圆 C 的离心率; (2) 设O 为原 点, 若点 A 在椭 圆C 上, 点B 在直 线 y =2 上, 且OA ⊥OB , 试判 断直线 AB 与圆 x 2 +y 2 =2 的位 置关系, 并证明你的结论.师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 -2-页共4 页 答案 1 .选 C 由 a =1 可得 l1 ∥l2 反之由 l1 ∥l2 可得 a =1. 2 . 选 C 由切线与 直线ax -y +1 =0 垂直, 得过点 P(2,2) 与圆心(1,0) 的直线与 直线 ax -y +1 =0 平行, 所以 2 -0 2 -1 =a , 解得 a =2. 3 .选 D 依题意,得直线l 过点(0,3) ,斜率为 1 ,所以直线 l 的方程为 y -3 =x -0 ,即 x -y +3 =0. 故选 D. 4 . 选 C 依题意, 圆的圆 心为(1,2) ,半 径 r = 5 , 圆心到 直线的距离 d = |1 +4 -5 + 5| 5 =1 , 所以结 合图形可知弦 长 的一半为 r 2 -d 2 =2 ,故弦长为 4. 5 .解 析: 最短 弦为过点(3,1) ,且垂直于点(3,1) 与圆心的连线的弦,易知弦心距 d = 3 -2  2 +1 -2  2 = 2 ,所 以最 短弦长为 2 r 2 -d 2 =2 2 2 - 2  2 =22 . 6 .解析:由直线与圆相交所得弦长为 2 ,知圆心到直线的距离为 3 ,即 1 m 2 +n 2 = 3 ,所以 m 2 +n 2 = 1 3 ≥2|mn|, 所以|mn|≤ 1 6 ,又 A 1 m ,0 ,B 0 , 1 n ,所以△AOB 的面积为 1 2|mn| ≥3 ,最小值为 3. 答案:3 7 .解析:如图所示,圆心在直线x =2 上,所以切点 A 为(2,1) . 设圆心 C 为(2 ,t) ,由题意,可得|OC|=|CA|, 故 4 +t 2 =(1 -t) 2 , ∴t =- 3 2 , 半径 r 2 = 25 4 . 所以圆 C 的方程为 (x -2) 2 + y + 3 2 2 = 25 4 . 8 .解 析: 由题意 得,直线 l1 截圆所得的劣弧长为 π 2 ,则圆心到直线 l1 的距离为 2 2 ,即 |a| 2 = 2 2 ⇒a 2 =1 , 同理可 得 b 2 =1 ,则a 2 +b 2 =2. 9.解 析 : 因为点(1,0) 关于直 线y =x 对称的 点的坐标为(0,1) , 所以所 求圆的圆心 为(0,1) , 半径为 1 , 于是圆 C 的标准师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 -3-页共4 页 方程为 x 2 +(y -1) 2 =1. 10 . 解析: 依题意 , 设圆心 的坐标为(2b ,b)( 其中 b >0),则 圆 C 的半径 为 2b , 圆心到 x 轴的距 离为 b,所 以 2 4b 2 -b 2 =2 3 ,b >0 ,解得b =1 ,故所求圆 C 的标准方程为(x -2) 2 +(y -1) 2 =4. 11 .解:(1) 由题意,椭圆C 的标准方程为 x 2 4 + y 2 2 =1. 所以 a 2 =4 ,b 2 =2 ,从而 c 2 =a 2 -b 2 =2. 因此 a =2 ,c = 2. 故椭圆 C 的离心率e = c a = 2 2 . (2) 直线 AB 与圆 x 2 +y 2 =2 相切. 证明如下: 设点 A ,B 的坐标分别为(x0 ,y0) ,(t,2) , 其中 x0 ≠0. 因为 OA ⊥OB ,所以OA   ·OB   =0 , 即 tx0 +2y0 =0 , 解得 t =- 2y0 x0 . 当 x0 =t 时,y0 =- t 2 2 ,代入椭圆 C 的方程,得 t =± 2 , 故直线 AB 的方程为 x =± 2 , 圆心 O 到直线 AB 的距离 d = 2. 此时直线 AB 与圆 x 2 +y 2 =2 相切. 当 x0 ≠t 时,直线 AB 的方程为 y -2 = y0 -2 x0 -t (x -t) . 即(y0 -2)x -(x0 -t)y +2x0 -ty0 =0. d = |2x0 -ty0| y0 -2  2 +x0 -t  2 . 又 x 2 0 +2y 2 0 =4 ,t =- 2y0 x0 ,故 d = | 2x0 + 2y 2 0 x0 | x 2 0 +y 2 0 + 4y 2 0 x 2 0 +4 = | 4 +x 2 0 x0 | x 4 0 +8x 2 0 +16 2x 2 0 = 2.师出教育 电话:400-600-2690 咨询QQ:1400700402 第 -4-页共4 页 此时直线 AB 与圆 x 2 +y 2 =2 相切.
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