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校本课程-趣味数学.doc

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校本 课程 趣味 数学
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.(校本课程)库尔勒市实验中学2014年10月目 录总体规划…………………………………………………………课程实施…………………………………………………………第一节 有趣的数学谜语………………………………………第二节 鸡兔同笼问题…………………………………………第三节 九宫图的应用…………………………………………第四节 让梨游戏………………………………………………第五节 数学中的简单逻辑推理问题…………………………第六节 欺骗眼睛的几何问题…………………………………第七节 抽屉原理的简单应用…………………………………第八节 帕斯卡三角形与道路问题…………………………第一部分 总体规划为了切实提高高中学生的数学推理能力,培养学生学习数学的兴趣,落实《普通高中数学新课程标准》,发挥数学学科在培养学生动手动脑、自主创新、合作探究、提高逻辑思维能上的重要作用,以适应未来学习、生活和工作的需要,我们根据新课标中的总体设计,面向高二年级的同学开设校本课程《趣味数学》。《趣味数学》选取不同题材的数学故事与实际问题,使学生在自主阅读的同时能够提高兴趣,积极思考,努力探索,找到解决问题的方案,同时提高学生的思维推理能力,在不知不觉中感受数学,融入数学。一、课程性质数学是最重要的学习工具,是各门功课的桥梁与基础。趣味性与逻辑推理的统一是本课程的基本特点。《趣味数学》一课,旨在通过对趣味数学故事的研读与学习,培养与提高学生的基本推理能力,培养学生的应用能力和思维发散的意识,在数学的魅力中提高个人的数学素养,从而提高人生素养。课本选取的各类数学故事、数学背景都是非常经典的且具有比较高的欣赏学习价值,能够提高学生分析问题和逻辑推理的能力。用数学氛围去感染学生,用数学情趣去陶冶学生,用数学益智去激励学生,进而把学生一步一步领进数学的殿堂。二、课程理念1、本着以生为本、主动发展的原则选择符合学生需要的知识内容编写课本。2、本着以实际生活为本,以兴趣、求知为基点,以能力提高为目标开展教学。3、本着学以致用、理论联系实际、知识指导生活的原则推动每一位学生主动发展,自我提高。三、课程目标1、通过对课本的研读,引导学生体会身边的数学,感受数学无处不在的实用性和数学在逻辑推理中重要作用,切实转变学生对数学原有的枯燥无味的看法,真正开始喜欢数学。2、学生在喜欢数学的基础上,能够发挥主观能动性,积极主动地思考问题、探索问题、合作探究问题,以寻找解决问题的方法,并能开拓思维,提高思维创新能力。3、提升学生的思辨能力和逻辑推理能力,能够在平时的学习中加以充分应用,进行主动地、创造性地学习。第二部分 课程实施实施对象:高一学生实施时间:校本选修课2实施步骤:分四步:1)自行研读,思考 2)合作探究、推理 3)老师指导、解答 4)创新运用、提高实施计划:拟在高一实施,共需18课时。高一年级每周2课时。课时安排:第一节 有趣的数学谜语………………………………………2课时第二节 鸡兔同笼问题…………………………………………2课时第三节 九宫图的应用…………………………………………2课时第四节 让梨游戏………………………………………………1课时第五节 数学中的简单逻辑推理问题…………………………2课时第六节 欺骗眼睛的几何问题…………………………………2课时第七节 抽屉原理的简单应用…………………………………2课时第八节 帕斯卡三角形与道路问题……………………………2课时 体会与反思………………………………………………………1课时评价与考核本课程采用考核与考试相结合的评价方式。作业:结合课本知识及相关内容,以作业形式,考查学生的解决问题的能力,以了解学生对该校本课程的掌握。学习反思与体会:由学生撰写学习反思与体会,以评价学生的思辨能力和表达能力。了解学生对该校本课程的接受程度,对下期教学进行必要的改进。第一节 有趣的数学谜语猜谜是一种非常有趣有益的智力活动,猜谜语也是锻炼思维能力的一种好方法。听了谜语以后,就会动脑筋想:这说的是什么东西呢?“思源于疑”,“疑”是思维的开始,是创造的基础,大家觉得是不是呢?今天我们就来猜谜语!  先看几个简单例子:  1.一加一不是二。(打一字)  “一”字、加号“+”、再来一个“一”字,组合在一起,得到的字不是“二”,而是“王”。谜底是王。  2.一减一不是零。(打一字)  “一”字、减号“-”、再来一个“一”字,组合在一起,得到的字不是“零”,而是“三”。谜底是三。  3.八分之七。(打一成语)  “八分之七”用数学符号写出来,把数字7写在分数线上面,8写在分数线下面,谜底是成语“七上八下”。在上面这些谜语里,用一些很简单的数学知识,对谜语的文字作出新的理解,可以帮助猜出答案。  另外一类谜语,谜底是数学名词。还是来看几个例子:  4.七六五四三二一。(打一数学名词)  平常报数目,是从小到大顺着数,就像流行歌曲里唱的,“一二三四五六七,我的朋友在哪里”。现在他说“七六五四三二一”,是从大到小,倒过来数了,所以谜底是“倒数”。  5.讨价还价。(打一数学名词)  买东西讨价还价,要经过反复协商,才能达成双方都同意的钱数。这种协商钱数的过程,可以戏称为“商数”。谜底是商数。  6.你盼着我,我盼着你。(打一数学名词)  “你盼着我”,是你在等候我;“我盼着你”,是我在等候你。两人互相等候,可谓“相等”。谜底是相等。  7.成绩是多少?(打二数学名词)  学习成绩是用得分的数目计算的。问“多少”,可以换一个说法,改问“几何?”在中国古代数学书里,问一种物品有多少个,总是问“物有几何?”直到现在,有些地区的方言里,买东西问价钱,还是说“几何?”所以,问“成绩多少”,等于是问“分数,几何?”谜底是两个数学名词:分数、几何。今天我们见到的谜语都与数学有关,被我们称为数学谜语,根据谜面和谜底的不同,数学谜语有不同的分类。同学们不妨一猜,可在紧张学习之余博得一乐,还可以提高学习数学的兴趣。请同学们在说谜底的时候,将你的猜谜思路和过程有条理地向大家展示。一、以数学用语为谜底的谜语  1. 五角一趟 2. 两羊打架 3. 完全合算 4. 勤点钞票  5. 两边清点 6. 有情人终成眷属 7. 合法开支 8. 打得鸳鸯各一方  9. 垂钓 10. 马术 11. 戽 12. 岁岁重阳今又重阳  13. 追本溯源 14. 对症下药 15. 多十分 16. 集体钓鱼  17. 协议离婚 18. 打成和局 19. 团体赛 20. 刮胡子  21. 摩拳擦掌 22. 谁押林冲去沧州(打两个数学用语)二、以数字为谜面的谜语  23. 一(打一成语) 24. 十百千(打一成语)  25. 一二三四五六七九十(打一字) 26. 壹贰叁肆伍陆柒捌玖(打一古书名)  27. 三八二十四(打一体育用语) 28. 7×9(打一古军事书名,卷帘格)三、以方程为谜面的谜语  29. x=只-吾(打一工业用语) 30. x=旭÷3(打一化学用语)四、以数学家为谜底的谜语  31. 东坡游春 32. 回眸一笑百媚生五、以数学科目为谜面的谜语  33. 解析几何(打一口头用语)六、以运算符号为谜面的谜语  34. +-×(打一成语)谜底:1.一元二次(推算法) 2.对顶角 3.绝对值 4.常数(通假法) 5.分数 6.同心圆 7.有理数 8.公分母 9.等于(通假法) 10.乘法 11.内角(分解法) 12.循环节 13.求根 14.开方 15.余角(换算、通假) 16.公垂线 17.约分 18.平角 19.公共角 20.平角(词性通假) 21.等角22.两个解、差(问答法。答曰:两个解差,分开即是) 23.大有人在 24.万无一失(别解为没有“一”和“万”) 25.口(谜面意为“只”少“八”) 26.《拾遗记》(意为忘记写“拾”) 27.女子双打(双打即两打,二十四) 28.三十六计(7×9计六十三,反序读之即得) 29.成品(八口减五口为三口,三口即成“品”字) 30.结晶(九日除以3得3日,结合为“晶”) 31.苏步青 32.杨乐 33.十八斤(谜面别解为把“析”分解开是多少?) 34.支离破碎(把支分解开即为“+、-、×”) 你能总结出猜数学谜语的基本方法吗?【猜一猜,练一练】第一组:1.群策群力 2.裁判职责 3.批准法规 4.弹簧弹性  5.人人富裕 6.啦叭套子 7.主动争取 8.听候下令  9.财政赤字 10.伪造账目 11.追问到底 12.准备参赛  13.交换赛场 14.热身赛 15.团体赛 16.互相呼喊  17.中秋明月 18.平原铁道 19.货真价实 20.提弦调音谜底:  1.公理 2.定理 3.定律 4.有限5.无穷 6.大于号 7.不等号 8.等号9.负数 10.无理数 11.求根 12.等比13.更比 14.相似 15.合比 16.对称17.圆 18.直径 19.绝对值 20.正弦第二组:1.断纱接头 (打一数学名词)2.抬头望月 正好初八 (打一三角函数名)  3.一笔债务 (打一数学名词) 4.两牛打架 (打一数学名词)  5.大甩卖 (打一数学名同) 6.再见吧妈妈 (打一数学名词)  7.医生提笔 (打一数学名词) 8.99 (打一成语)  9.110 (打一成语) 10.103与1002 (打一成语)  11.大同小异 (打一数学名词) 12.并驾齐驱 (打一数学名词)  13.周而复始 (打一数学名词) 14.考试不作弊 (打一数学名词)  15.夏周之间 (打一数学名词)   16.捷道 (打一数学名词)  17.算盘珠 (打一数学名词) 18.联合国宪章 (打一数学名词)  19.岁岁重阳,今又重阳 (打一数学名词)谜底:  1.延长线;2.正弦;3.负数;4.对顶角;5.绝对值;6.分子分母;7.开方;8.百无一是;9.一成不变; 10.千变万化;11.近似;12.平行;13.循环;14.真分数; 15.商; 16.直径; 17.代数;18.最大公约数; 19.循环节。【数学谜语集锦】(一)、打数学名词方面的1.五四三二一; 2.缺了会计; 3.邮寄账本; 4.信件统计; 5.替人查账; 6.查账; 7.开奖; 8.算术老师的教鞭; 9.一笔债务; 10.商店盘货; 11.用; 12.同室操戈;13.团体赛; 14.兵对兵,将对将; 15.左右夹攻; 16.重判;17.轻判; 18.车站告示; 19.背着喇叭; 20.待命冲锋;21.朱元璋登基; 22.婚姻法; 23.演员招考制度; 24.五角;25.员;26.刀口; 27.海峡两岸盼统一; 28.有情人终成眷属;29.马路没弯儿;30.两个寨子隔条岗,南寨没有北寨强;南寨好汉有五条,不及北寨人一双。31.健全法制; 32.儿童储蓄; 33.聚散无常; 34.千丝万缕;35.身高; 36.会谈; 37.欲言又止; 38.保持距离,同时起飞;39.五角钱一趟; 40.浮萍; 41.互盼; 42.合家欢;43.恰如其分; 44.一望无际; 45.一模一样; 46.哨声响了;47.减法没算对; 48.垂钓; 49.走致富之路; 50.北;51.抬头望月,正好初八; 52.二胡调音; 53.时刻盼望上战场(打数学二名词); 54.丞(打数学三名同); 55.一个邮递员掀起了信箱的盖子,在清点有多少信件。你能根据这一情况猜出三个数学名词吗?(二)、打数学家名字方面的  1.虎丘游春; 2.博览群书。(三)、打其它方面的  1.八十五(打一影片名); 2.三八二十四(打一体育名词);3.四加四(打一字);4.+-×÷(打一政治名词); 5.圆规画鸡蛋(打一城市名称); 6.力(打一珠算口诀);7.千古兴亡多少事(打三学科名称);8.向阳村和青松村比赛篮球。向阳队是东方乡的冠军,而青松队是长丰乡的冠军,这场两个冠军队的比赛打得非常激烈、精彩,每球必争,比分不相上下,直到最后一分钟,向阳队罚进一球才分出胜负。当有人问起胜负情况和比分时,向阳队的球员说,这次比赛是“白”字比“杂”字,我们只赢了一分。你知道两个队各得几分?谜底:  (一)、1.倒数:2.无理数;3.函数;4.函数;5.代数;6.对数;7.对数;8.指数:9.负数;10.复数; 11.半角; 12. 内角; 13.公共角;14.同位角;15.两面角;16.加法(谜面意即“加罚”,“罚”与“法”谐音);17.减法;18.乘法(乘车方法,取乘法);19.负号;20.等号;21.消元;22.结合律;23.优选法;24.半圆;25.圆心;26.切点;27.同心圆;28.同心圆;29.直径;30.算盘;31.圆规;32.微积分;33.不定积分;34.繁分式;35.立体几何;36.集合论;37.控制论;38.平行;39.一元二次;40.不定根;41.相等;42.共圆;43.精确值;44.无穷大;45.全等;46.集合;47.误差;48.等于(“于”与“鱼”谐音);49.趋向无穷;50.反比(反扣法,“北”反为“比”);51.正弦(假借法,因为初八月亮是上弦,“上”含“正”,故为“正弦”);52.正弦;53.等角、正切;54.大于、小于、分子(用增损法猜测);55.开立方、函数、几何。(二)、1.苏步青;2.张广厚。(三)、1.月到中秋;2.女子双打(“三八”扣“女子”,“二十四”扣“双打”,因为十二为一打);3.积(“四加四”和是八,再由“和八”拼成“积”字);4.分裂主义;5.太原(“原”与“圆”谐音);6.二一添作五;7.历史、代数、几何;9.九十九比九十八(“白”是“百”减“一”:“杂”是“九”、“十”、“八”的组合)。注:1、不同的谜面有时有相同的谜底;2、同一个谜面它的谜底有时是由几部分组成的,且这几部分都是并列的,必须都猜出来才算全对;3、第五十五个谜语属哑谜,最后一个谜语属故事谜。猜数学谜语可锻炼思维能力,提高学习数学的兴趣。在猜谜的过程中,有时需要一步步地深入,前面猜测的结果可能成为下一步的前提。因此,算法思想始终渗透在数学谜语中,条理清晰,理由充分,推理正确,才能一步步地贴近谜面。同时,请学生表述答案的过程是提高表达能力的过程。第二节 鸡兔同笼问题 鸡兔同笼,这个问题,是我国古代著名趣题之一。大约在1500年前,《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔同在一个笼子里,从上面数,有35个头;从下面数,有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔?第一类:列表举例法。方法1:根据鸡和兔共20只的条件,假设鸡只有1只,那么兔有19只,腿共有78条。。。在这样的逐一举例中,直至寻求到所求的答案。方法2:先作一些分析,比较后再试。方法3:先假设鸡和兔各占一半,再列表。60>54,说明兔子多了,应减少兔子的只数。 上面三种方法中,第一张表格是常规的逐一列举法,即根据鸡与兔共20只的条件,假设鸡只有1只,那么兔就有19只,腿共有78条;假设鸡有2只,那么兔就有18只,腿共有76条。。。,再这样的逐一举例中,直至找到所求的答案。第二类:作图分析法。方法1:先画20个圆圈表示20个头。再为每个动物画两条腿,20只动物只用完40条腿,还多出了14条腿。把剩下的14条腿用完,要给其中的7只动物加2条腿,这7只就是兔子,另外的13只就是鸡。方法2:先画20个头,接着假设全部是兔,共画80条腿,多出了26条腿,要给其中的13只动物去掉2条腿,这13只就是鸡,另外的7只就是兔了。第三类:方程解答法。解法1:设其中有X只兔,有Y只鸡。列式为:X+Y=20   ,4X+2Y=54。最后算出X=7,Y=13。解法2:设其中有X只兔,有(20-X)只鸡。列式为:2X+4x(20-X)=54,最 后算出X=7,得出兔的只数是7只,那么20-X=13就是鸡的只数。第四类:假设推理法。方法1: 假设这20只全部是兔子,那么就应该有80条腿,而题目只告诉我们 有54条腿,我们算的80与实际相比多算了26条腿,这是为什么呢?因为一只鸡是两条腿,而我们把它当成四条腿算了,如果用一只鸡来换一只兔,就要减少2条腿,也就是我们把多少只鸡当成了兔子,显然26÷2=13(只),所以鸡有13只,兔子有7只。可以列式为:(20X4-54)÷(4-2)=13(只),20-13=7(只)。方法2:假设这20只全部是鸡,那么就应该有40条腿,比实际少了14条腿,是因为每只兔子少算了2条腿,这样共有兔子是7只,鸡则是13只。列式如下:(54-20x4)÷(4-2)=13(只),20-13=7(只)。 解决鸡兔同笼问题通常使用假设法,可以假设所有的动物都是兔子,并求出在假设情况下的总腿数,再把实际的腿数和假设情况下的腿数相比较,看看多出了多少,每多2只腿说明有一只鸡,将多出的腿数除以2就算出共有多少只鸡。也可以假设全部是兔子来解。  方法3:把一只鸡和一只兔看做一个整体,一个整体中就有(4+2=6)条腿,54条腿应该是几个这样的整体呢?54÷6=9(个),在9个这样的整体里兔子的只数应该不是9只,因为9只兔和11只鸡的腿的条数超过了总条数54。那么就把兔看成8只,还是偏大,最后把兔的只数看成7只,鸡是13只,腿的总条数就正好是54了。列式为:4+2=6(只),54÷6=9(个),9-1=8(只),9-2=7(只),20-7=13(只),7X4=28(条),13X2=26(条)28+26=54(条)第五类:“金鸡独立”法此方法是:每只鸡都用一只脚站着,而每只兔子都用后脚站起来”。显然,在这种情况下,总脚数出现了一半,是27,此时,鸡的脚数与鸡的头数是相等的,兔子的脚数是兔子的头数的2倍。所以,从27中减去总的头数20得7,就是兔子的头数。当然,20-7=13,鸡就是13只了。鸡兔同笼问题早在我国古代数学名著《孙子算经》中就出现过,社会发展到今天,鸡和兔同装一笼的此类事件应该不多见了。但学生可以借助“鸡兔同笼”这个载体经历尝试、创新的过程, 让学生感受到数学思想的运用与解决实际问题的联系,体会到数学的价值。作业:设计一个算法,输入鸡兔的头和脚数,输出鸡和兔的数量。第三节 九宫图的应用一、数学故事:任意写一个三位数 做几次简单运算,可以发现一个小小规律。任意写一个三位数,例如135。把它的数字倒过来写,成为531。用其中较大的减去较小的,得到  531-135=396。  换几个另外的三位数,也做同样的计算,分别得到  876-678=198,  995-599=396,  963-369=594。  以上4个式子里得到的差,有一个明显的共同点:差的中间一位数字都是9。再仔细看看,还发现一个共同点:差的首、尾两位数字的和等于9。这样,通过观察和归纳,就发现了三位数颠倒相减的规律。还可以再随意写很多三位数颠倒相减的例子,来验证上面得到的规律,结果大部分都完全符合,只有两种例外情形。  第一种例外,如594-495=99,差是两位数99,不是三位数。  第二种例外,如323-323=0,这时的差是0。  由此可见,刚才初步归纳出来的规律,需要作两点小补充:  第一,如果差的末位数字是9,这个差一定是99;  第二,如果差的末位数字是0,这个差一定是0。  在其他情形下,差都是三位数。  这样一来,规律就完整了。你可以让你的朋友转过身去,在纸上任意写三位数,然后颠倒相减,只要把差的末位数字告诉你,就能猜出差是多少。无论哪种情形,只要掌握规律,总能应答如流,一猜就准。二、九宫图的应用 历史  古老而悠久的中华文化的宝殿中,有两颗璀璨夺目的明珠--河图洛书,至今吸引着众多学者的研究热情,人们为河图洛书的神话般的传说,高深的奥义,丰富的内容,简洁的形式万分惊讶,对河图洛书与中国的思想文化、社会科学、自然科学的密切联系更是迷惑不解。种种论述表明,河图洛书是中华文化的总源头,对中国及世界文化的发展,都有过深刻的影响。然而,令我们每个人吃惊和迷惑不解的是,河图洛书只是两个简单的数字图。 龙马载河图,神龟背洛书  河图洛书是我们祖先创造出来的,翻遍祖国的各种古典著作,我们根本找不到这位创始人。河图洛书的产生,至少要追溯到四千五百多年以前,那时,人类尚处于无文字时代,人类的认识水平还十分低,很难想象那时就有人能够制造出如此高深莫测的图书。在我国各种古籍中,对河图洛书的起源,仅有两个龙马载河图,神龟背洛书的传说。 (一)龙马载河图  相传远古时期的孟津河边,一天河水忽然大涨,波浪滔天,水中有一巨兽,似龙非龙,似马非马,浪里飞腾。当时的伏羲黄帝与众臣听到有人报告,立即去河边观看,只见河中洪涛巨浪,波浪中一巨兽踏水如登平地,大体象马却身有鱼鳞,高八九尺,有两翼,形体象骆驼,身上负有由花点构成的图案,黄帝命人走近河边,将图案记录下来,刚刚记下,怪兽即没而不见。后伏羲皇帝认真研究了这副图发现它正是由十种花点组成,这十种花点代表1-10这10个数,两种花点构成一组,布局在东西南北中五个位置上,每组花点所表示的数,其差均是5.这种和谐统一,四方对称的特征,黄帝越研究越感到奇妙无比,后来他就依此画八卦,建甲历,定时辰,治理国家。由于此幅图是在孟津河中发现的,故称此图为河图。 (二)神龟背洛书公元前23世纪,大禹治水的时候,在黄河支流洛水中,有一天突然浮规出一个大乌龟,当时,大禹与治水士兵正在河边现察洛河水情,商议治理黄河大计,遇到乌龟在河里上下翻腾就十分奇怪,只见此龟行走水面,游来游去,其身形庞大,甲背平圆。近处仔细观看,发现甲上载有9种花点的图案,大禹令士兵们将图案中的花点布局记了下来,带回去作了深入的研究,他惊奇地发现,9种花点数正好是1-9这9个数,各数的位置排列也相当奇巧,纵横六线及两条对角线上三数之和都为15,既均衡对称,又深奥有趣,在奇偶数的交替变化之中似有一种旋转运动之妙。大禹受到启发,他参照九数而划分天下雨九别,并且把一般政事也区分为九奥。据《史记.夏本纪》写道:夏禹治水时,“左准通、右规矩,载四时,以开九州,通九道,陂九泽……”大禹治水以九宫为据,应用到测量、气象、地理与交通运输之中,从而治理黄河,大获成功,受到黄河两岸人们的拥戴。由于神龟所背图是在黄河支流洛水中发现,且图中内容如书一样深奥,故人们称此为洛书。应用:如何分班?为师各班成绩均匀,我们给先学生排序,然后按照一定的规律将学生分组。如分3个班,将学生排序后,按照图1的行(或列)从上到下一次编号132321213为一组,向下重复。所有编号为1的一个班,编号为2的一个班,编号为3的一个班。如分4个班则按图2处理;5个班按图3处理;6个班按图4处理。1432321423414123132321213316524625341541236163452452163234615 图1 图21345224513523413512441235 图3 图4 作业:按照示例4图,请与同学合作,编制一张分7个班的分班表。第四节 让梨游戏第五节 数学中的简单逻辑推理问题一、“被墨水盖住”的算式  如果要想具备福尔摩斯那样神奇的破译密码的本领,不但应具有非凡的推理能力,还要懂得大量的其他知识。然而,只要你有心,也可以破译一些简单的密码。   现在我们来看一个例子:  据传说,英国物理学家牛顿(1642-1727)小的时候,学习成绩几乎在学校是倒数第一。后来他下决心改变这一令人沮丧的状况。有一次,他把自己的作业做得干净整齐,没有任何错误,但正当他把笔和本子收起来时,糟糕的事情发生了:墨水洒了,正好在他的一道算术题上留下了一块墨迹。下图显示了这个令人不快的结果。  2 8 ?  +??4  ────—  ????  式中只剩下了3个数字较为清晰。小牛顿尽了一切努力,最后终于记起来整道题凑巧用了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部10个数字,一样一个。如果这是一种从0到9这10个数字编制的密码,你能破译出被墨水盖住的都是哪些数字吗?  由于被墨水盖住的是10个数字,所以原式应为:  我们可以把这个算式写成:28A  +CB4  ────—  GFED其中每个英文字母分别表示数字0、1、3、5、6、7、9中的某一个。  我们先考虑千位上的G。两个三位数相加,和是四位数,由于两个百位上的数相加,和最多向千位进1,所以,G只能是1,这时,算式就成了:28A  +CB4  ────  1FED   再看百位上的C和F。如果要保证向千位进1,C不能小于7,即C只可能是7或9中的一个。设C=9,那么如果十位不进位到百位,F=1;如果十位进位到百位,F=2。这都和已知的数字重复。所以C≠9。  所以C=7,F=0。即28A  +7B4  ────  10ED这时,B可能是3、5、6、7中的某一个。如果B=3,那么应有E=1或2,但这不可能;如果B=5,那么E=3,但6+4≠9,9+4≠6;如果B=6,那么E=5,这时令A=9,则有D=3。整理出来就是:A=9,B=6,C=7,D=3,E=5,F=0,G=1。  于是,小牛顿的算式应为:289  +764  ────  1053二、问路问题  有这样一个故事:在太平洋中有AB两个相邻的小岛。A岛居民都是诚实的人,B岛的居民都是骗子。当你问一个问题时,A岛的居民会告诉你正确的答案,而B岛的居民给你的答案都是错误的。一天,一个旅游者独自登上了两岛中的某个岛。他分辨不清这个岛是A岛还是B岛,只知道这个岛上的人既有本岛的居民又有另一岛的来客。他想问岛上的人“这是A岛还是B岛?”却又无法判断被问者的答案是否正确。旅游者动脑筋想了会一儿,终于想出一个办法,他只需要问他所遇到的任意一人一句话,就能从对方的回答中准确无误地断定这里是哪个岛。你能猜出旅游者所问的问题吗?  如果旅游者直接问“这是A岛还是B岛?”那么当被问者是A岛人时,他会得到正确的回答;当被问者是B岛人时,他会得到错误的回答。两种回答截然相反,而旅游者又无法知道他得到的答案对不对,因此这样问话达不到问路的目的。聪明的旅游者的问话是,“你是这个岛的居民吗?”如果对方回答“是”,那么这个岛一定是A岛;如果对方回答“不是”,那么这个岛一定是B岛。你能说出这是为什么吗?  下面我们就对上面的问题进行分析:我们知道,旅游者提出问题时并不知道提问地是何岛,也不知道被问者是何岛居民。他要从所听到的第一句回答来判断问话地是何岛。因此,所提问题的答案必须是因提问地而异,而不由被问者是A岛居民或是B岛居民发生变化。根据上述特点,我们设法找到这样的问题:1、使得在A岛提问时,被问者(不论是何岛居民)都回答同样的一种答案;2、在B岛提问时,被问者都回答另一种答案。于是,我们就可以根据任一人的回答来判断提问地为何岛了。显然,这样的问题必须与提问地相关,并且还要与被问者有关,如果在A岛提出这样的问题时,A岛居民应作肯定回答(B岛居民也会作肯定回答,但这种回答与客观实际相反),那么在B岛提出同一问题时,A岛居民应作否定回答(B岛居民也会做否定回答,但回答与实际情况相反)。“你是这个岛的居民吗?”这一问题就是一个满足以上要求的问题,我们通过下表表示在不同的提问地的不同的被问者对问题的相应回答。问题:你是这个岛的居民吗?问话地被问者A岛居民B岛居民A岛回答是是B岛不是不是由上表可以一目了然地发现:在A岛提问时,回答总为“是”;在B岛提问时,回答总为“不是”。这就为旅游者判断提问地是哪个岛提供了依据,于是“问路问题”得以解决。  请想一想,如果旅游者的问题为“你是相邻的另一岛上的居民吗?”,那么能根据任一人的回答来判断提问地是何岛吗?为什么?试通过列表的方式说明理由。数学中有个分支叫做数理逻辑,它通过数学方法来研究逻辑规律。在数理逻辑中,列表法是一种基本的研究方法,只是其中表的形式与本文中的表有许多不同,使用了一些有关命题、真值的抽象符号,但其基本思想与我们用表讨论问题的思想是大体一致的,都是通过列表来分析和说明问题。数学是以逻辑推理为重要研究方法的学科。所谓逻辑推理,就是合乎事理的、有根有据的推导判断。上面的两个问题正是运用到逻辑推理的问题,同学们应在数学学习中注意提高自己的逻辑推理能力,使自己勤于思考并且善于思考,成为聪明人。第六节 欺骗眼睛的几何问题生活中我们常常相信亲眼所见,但又常常为自己的眼睛所骗,魔术就是一个很好的例子。数学中也有这种欺骗我们眼睛的奇妙的数学魔术,我们先看一个问题:问题1:在下面的两个图形中,如果将图1中的四块几何图形裁剪开来重新拼接成图2,我们会发现,与图1相比,图2多出了一个洞!这怎么可能呢?我们自然会提出这样的疑问。奥妙何在我们姑且按下不表,让同学们先动动脑子!上面的题目有些复杂,下面我们来看一个简单一些的问题。问题2:将图3中面积为13×13=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形,然后重新拼接成图4,计算可知长方形的面积为8×21=168,比正方形少了一个单位的面积,非常不可思议,这是为什么呢?这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解,值得我们花费一些时间动手按照所说的剪裁方法做一做。我们先来分析一下问题2:我们在白纸上将正方形量好画出,剪成四块,重新安排后拼成长方形,除非图形做得很大并且作图和剪裁都十分精确,我们一般是不会发现拼接成的长方形在对角线附近发生了微小的重叠,正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失。要证实这一点我们只要计算一下长方形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率,比较一下就会清楚了。  问题2中涉及到四个数据5、8、13和21,有一定数学基础的同学会认出这是著名的斐波那契数列中的四项,斐波那契数列的特征是它的每一项都是前两项之和:1,1,2,3,5,8,13,21,34,……。我们还可以使用这个数列中的其他相邻四项来试验这个过程,无论选取哪四项,都可以发现正方形和长方形的面积是不会相等的,有时正方形的面积比长方形多一个单位面积,有时则正好相反。多做几次上述实验,我们就会得出斐波那契数列的一个重要性质:这个数列任意一项的平方等于它前后相邻两项之积加1或减1。用公式表示就是:。其中表示正方形的面积,表示长方形的面积。知道了这个事实,我们就可以自己构造类似于问题2的几何趣题。  上面的这个斐波那契数列是以1,1两数开始的,广义的斐波那契数列可以从任意两数开始。比如说,用广义斐波那契数列2,2,4,6,10,16,……做上述试验,就会多得或丢失四个单位的面积。如果用a、b、c表示广义斐波那契数列的相邻三项,以x表示“得”或“失”的数字,则下列两式成立: 。我们还可以来研究这样一个有趣的问题:把正方形按上述方法剪成四块,是否会拼接成一个与它面积相等的长方形?要回答这个问题,可以令方程组中的x等于零,再解之得唯一正解是:。其中恰是著名的黄金分割比,通常用 来表示,它是一个无理数,等于1.618033……。这就是说,唯一的每项平方等于前后相邻两项之积的斐波那契数列是:1,,,,,……。要证明它的确是斐波那契数列,只要证明它等价于数列1,,+1,2+1,3+2,……就可以了。只有用这个数列相邻项数表示的长度来分割正方形,才可以拼出面积不变的长方形。我们再回到问题1,题中涉及到的数据1,1,2,3,5,8,13恰是斐波那契数列的前七项,因此问题1实际上是问题2的一个复杂化版本,计算一下图中两个大小三角形斜边的斜率,那么一开始的疑问已不讲自明。                  最后再给喜欢思考的同学提出一个与前两个问题略有不同的问题 3,图5这个正方形按图中标出的数据分割成了五块几何图形,剪开后重新拼接成图6,奇怪,又多出了一个洞!这次斜线处并无叠合,少掉的一个单位面积哪里去了呢?这个问题最初是由美国魔术师保罗卡瑞提出的,虽然它曾经难倒了许多美国人,但相信它难不倒聪明的中国学生。为帮助大家思考,提示一下:不要忘了计算!最后送给大家一句华罗庚教授的话:“数缺形时少直观,形少数时难入微”。第七节 抽屉原理的简单应用 “任意367个人中,必有生日相同的人。”“从任意5双手套中任取6只,其中至少有2只恰为一双手套。”  “从数1,2,…,10中任取6个数,其中至少有2个数为奇偶性不同。”……  大家都会认为上面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢?这个原理叫做抽屉原理。抽屉原理又称鸽笼原理或狄利克雷原理,它是数学中证明存在性的一种特殊方法。它的内容可以用形象的语言表述为:“把m个东西任意分放进n个空抽屉里(m>n),那么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。”举个最简单的例子,把3个苹果按任意的方式放入两个抽屉中,那么一定有一个抽屉里放有两个或两个以上的苹果。这是因为如果每一个抽屉里最多放有一个苹果,那么两个抽屉里最多只放有两个苹果。运用同样的推理可以得到:  原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。  原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里,则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+l个的物体。  下面我们用抽屉原理来分析前面的例子:第一个结论中,由于一年最多有366天,因此在367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入366个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里。在第二个结论中,不妨想象将5双手套分别编号,即号码为1,2,…,5的手套各有两只,同号的两只是一双。任取6只手套,它们的编号至多有5种,因此其中至少有两只的号码相同。这相当于把6个东西放入5个抽屉,至少有2个东西在同一抽屉里。例:利用上述原理证明:“任意7个整数中,至少有3个数的两两之差是3的倍数。”分析:因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能,所以7个整数中至少有3个数除以3所得余数相同,即它们两两之差是3的倍数。  如果问题所讨论的对象有无限多个,抽屉原理还有另一种表述:“把无限多个东西任意分放进n个空抽屉(n是自然数),那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。”抽屉原理的内容简明朴素,易于接受,它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性的证明都可用它来解决。一、抽屉原理和六人集会问题  1958年6/7月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目:  “证明在任意6个人的集会上,或者有3个人以前彼此相识,或者有三个人以前彼此不相识。”  这个问题可以用如下方法简单明了地证出:  在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参加集会的任意6个人。如果两人以前彼此认识,那么就在代表他们的两点间连成一条红线;否则连一条蓝线。考虑A点与其余各点间的5条连线AB,AC,...,AF,它们的颜色不超过2种。根据抽屉原理可知其中至少有3条连线同色,不妨设AB,AC,AD同为红色。如果BC,BD,CD3条连线中有一条(不妨设为BC)也为红色,那么三角形ABC即一个红色三角形,A、B、C代表的3个人以前彼此相识:如果BC、BD、CD3条连线全为蓝色,那么三角形BCD即一个蓝色三角形,B、C、D代表的3个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生,都符合问题的结论。图1六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例,这个简单问题的证明思想可用来得出另外一些深入的结论。这些结论构成了组合数学中的重要内容-----拉姆塞理论。从六人集会问题的证明中,我们又一次看到了抽屉原理的应用。二、抽屉原理与“电脑算命”  “电脑算命”看起来挺玄乎,只要你报出自己出生的年、月、日和性别,一按按键,屏幕上就会出现所谓性格、命运的句子,据说这就是你的“命”。  其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬。  如果以70年计算,按出生的年、月、日、性别的不同组合数应为70×365×2=51100,我们把它作为“抽屉”数。我国现有人口11亿,我们把它作为“物体”数。由于1.1×=21526×51100+21400,根据原理2,存在21526个以上的人,尽管他们的出身、经历、天资、机遇各不相同,但他们却具有完全相同的“命”,这真是荒谬绝伦!  在我国古代,早就有人懂得用抽屉原理来揭露生辰八字之谬。如清代陈其元在《庸闲斋笔记》中就写道:“余最不信星命推步之说,以为一时(注:指一个时辰,合两小时)生一人,一日生十二人,以岁计之则有四千三百二十人,以一甲子(注:指六十年)计之,止有二十五万九千二百人而已,今只以一大郡计,其户口之数已不下数十万人(如咸丰十年杭州府一城八十万人),则举天下之大,自王公大人以至小民,何啻亿万万人,则生时同者必不少矣。其间王公大人始生之时,必有庶民同时而生者,又何贵贱贫富之不同也?”在这里,一年按360日计算,一日又分为十二个时辰,得到的抽屉数为60×360×12=259200。所谓“电脑算命”,不过是把人为编好的算命语句象中药柜那样事先分别一一存放在各自的柜子里,谁要算命,即根据出生的年月、日、性别的不同的组合按不同的编码机械地到电脑的各个“柜子”里取出所谓命运的句子。这种在古代迷信的亡灵上罩上现代科学光环的勾当,是对科学的亵渎。第八节 帕斯卡(杨辉)三角形与道路问题  苏珊很为难,她步行去学校,路上老是遇到斯廷基。斯廷基:“嘿嘿,苏珊,我可以陪你一起走吗?”苏珊:“不!请走开。”  苏珊心想:我有办法了,每天早上我走不同的路线去学校,这样斯廷基就不知道在哪儿找到我了。下面这张地图表示苏珊的住所和学校之间的所有街道,苏珊去学校时,走路的方向总是朝南或朝东,她总共有多少条路线呢?苏珊:“我真想知道有多少条路线可走,让我想一想,要算出多少条路线看来并不简单。嗯,啊哈!一点不难,简单得很!”苏珊想到了什么好主意呢?  她的推理如下:苏珊:“在我家这个角点上写一个1,因为我只能从这一点出发,然后在与此相隔一个街区的两个角点上各写一个1,因为到那里只有一条途径。现在,我在这个角点上写上2,因为到达那里可以有两条途径。苏珊发现2是1加1之和,她忽然领悟:若到某一个仅有一条途径,则该角点上的数字为前一个角点上的数字;若有两条途径,则为前两个角点上的数字之和。  苏珊:“瞧,又有四个角点标上了数字,我马上把其他角点也标上数字。”请你替苏珊把剩下的角点标上数字,并且告诉她步行到学校共有多少条不同的路线。  苏珊的家H1  11  21  31      1?    ?                ?   3   6   ?     ?                              学校G  剩下的5个点,自上而下,从左至右分别标以1,4,10,5,15。最后一点上的15表示苏珊去学校共有十五条最短路径。  苏珊所发现的是一种快速而简单的算法,用来计算从她家到学校的最短路径共有多少条。要是她把这些路径一条一条地画出来,然后再计数,这样肯定麻烦,还容易出错。如果街道的数目很多,那么这种方法根本就行不通。你不妨把这十五条路线都画出来,这样你就更能体会到苏珊的算法是多么地有效了。  你对这种算法是否已经理解,可以再画一些不同的街道网络,然后用这种算法来确定从任意点A到另一任意点B的最短路线共有多少条。网络可以是矩形网格,三角形网格,平行四边形网格和蜂窝状的正六边形网格。也可以用其他方法(例如组合公式)求解,但这种方法十分复杂,需要很高的技巧。在国际象棋棋盘上,“车”从棋盘的一角到对角线上另一角的最短路径共有多少条?就像苏珊给街道交点标上数字一样,把棋盘上所有格子也都填上数字,于是问题就迎刃而解了。“车”只能沿着右上方向朝另一个角的目标移动,便可以求出共有多少条最短路径。如图所示:183612033079217163432172884210462924171616215612625246279215153570126210330141020355684120136101521283612345678车1111111把整个棋盘正确标号,根据所标的数字,一眼就能看出在棋盘上从一个角出发到任意一角,有多少条最短路线.右上角的数字是3432,所以“车”从一角到对角线的另一角的最短路径共有3432条。让我们把棋盘沿着左上至右下的对角线一截为二,使其成为如下图所示的阵列。此三角形上的数字与著名的帕斯卡三角形(我国叫做杨辉三角形)的数字是相同的,当然,计算街道路径条数的算法,恰恰就是构造帕斯卡三角形所依据的过程。这种同构现象使得帕斯卡三角形成为无数有趣特性的不竭的源泉。  1  11  121  1331  14641  ……  利用帕斯卡三角形立即可以求出二项式展开的系数,即求(a+b)的任意次幂,同样也可以用来解出初等概率论中的许多问题。请注意,上图中自顶部至底部,从边沿一格来说是1,随着向中间移动,数字逐渐增加。也许你见过根据怕斯卡三角形所制成的一种装置:在一快倾斜的板上,成百个小球滚过木钉进入各格的底部。全部小球呈现出一条钟形的二项式分布曲线,因为到达每个底部孔位的最短路径的条数就是二项式展开的系数。  显然,苏珊的算法同样适用于由矩阵格子组成的三维结构。设有一个边长为3的立方体,分成27个立方体单元,把它看成棋盘,处于某一个角格上的“车”可以向三个坐标上的任何位置作直线移动,试问“车”到空间对角线的另一个角格有多少条最短路径?
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