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考点45曲线与~方程、圆锥曲线的综合应用.doc

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考点 45 曲线 方程 圆锥曲线 综合 应用
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.考点45 一、解答题1.(2014·安徽高考文科·T21)设,分别是椭圆:的左、右焦点,过点的直线交椭圆于两点,(1) 若的周长为16,求;(2) 若,求椭圆的离心率.【解题提示】(1)利用椭圆的定义求解;(2)设,用k表示利用余弦定理解得出等腰,从而得到a,c的关系式。【解析】(1)由,得,因为的周长为16,所以由椭圆定义可得,故。(2)设,则k>0,且由椭圆定义可得在中,由余弦定理可得即,化简可得,而a+k>0,故a=3k,于是有,因此,故为等腰直角三角形,从而。2(2014·安徽高考理科·T19)如图,已知两条抛物线和,过原点的两条直线和,与分别交于两点,与分别交于两点. (1) 证明:;(2)过原点作直线(异于,)与分别交于两点。记与的面积分别为与,求的值.【解题提示】(1)设出两条直线的方程,联立抛物线方程,求出点,的坐标,利用向量证明平行关系;(2)利用两个相似三角形的面积比等于相似比的平方进行求解。【解析】(1)设直线的方程分别为,则由,由,同理可得,所以=,=故=,所以。(2) 由(1)知,同理可得,,所以,因此,又由(1)中的=知,故3. (2014·四川高考理科·T20)已知椭圆C:()的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设F为椭圆C的左焦点,T为直线上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.①证明:OT平分线段PQ(其中O为坐标原点);②当最小时,求点T的坐标.【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想.【解析】(1)依条件,所以椭圆C的标准方程为(2)设,,,又设中点为,①因为,所以直线的方程为:,,所以,于是,,所以.因为,所以,,三点共线,即OT平分线段PQ(其中O为坐标原点).②,,所以,令(),则(当且仅当时取“”),所以当最小时,即或,此时点T的坐标为或.4 (2014·四川高考文科·T20)已知椭圆:()的左焦点为,离心率为.(1)求椭圆的标准方程;(2)设为坐标原点,为直线上一点,过作的垂线交椭圆于,.当四边形是平行四边形时,求四边形的面积.【解题提示】本题主要考查椭圆的标准方程、直线与方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查数形结合、划归与转化、分类与整合等数学思想.【解析】(1)依条件,且,所以椭圆C的标准方程为.(2)设点的坐标为(,),则直线的斜率.当时,直线的斜率,直线的方程是.当时,直线的方程是,也符合的形式.设,将直线的方程与椭圆的方程联立,得.消去,得.其判别式>.所以,,.因为四边形是平行四边形,所以,即.所以.解得.此时四边形的面积.5. (2014·重庆高考文科·T21)如图,设椭圆的左、右焦点分别为 ,点 在椭圆上,的面积为 .(1)求椭圆的标准方程;(2)是否存在设圆心在 轴上的圆,使原在轴的上方与椭圆有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点?若存在,求出圆的方程,若不存在,请说明理由.【解题提示】(1)直接根据椭圆的定义及题设条件可求出椭圆的标准方程.(2)直接设出交点坐标然后根据椭圆与圆的对称性列出方程组求解.【解析】(1)设其中 由得从而 故 从而由得因此所以故因此,所求椭圆的标准方程为(2)如图,设圆心在 轴上的圆 与椭圆相交, 是两个交点, 是圆的切线,且由圆和椭圆的对称性,易知, 由(1)知所以 再由得由椭圆方程得即解得或当时, 重合,此时题设要求的圆不存在.当时, 过分别与垂直的直线的交点即为圆心 设 由得 而 故 圆的半径综上,存在满足题设条件的圆,其方程为6(2014·湖北高考理科·T21)在平面直角坐标系中,点M到点的距离比它到轴的距离多1,记点M的轨迹为C.(1) 求轨迹为C的方程(2) 设斜率为k的直线过定点,求直线与轨迹C恰好有一个公共点,两个公共点,三个公共点时k的相应取值范围。【解题指南】(Ⅰ)设出M点的坐标,直接由题意列等式,整理后即可得到M的轨迹C的方程;(Ⅱ)设出直线l的方程为,和(Ⅰ)中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程,求出判别式,再在直线y-1=k(x+2)中取y=0得到,然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0<0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围. 【解析】(Ⅰ)设点,依题意得,即化简整理得故点的轨迹的方程为。(Ⅱ)在点的轨迹中,记依题意,可设直线的方程为由方程组,可得 ①(1)当时,此时,把带入轨迹的方程,得故此时直线与轨迹恰好有一个公共点(2)当时,方程①的判别式 ②设直线与轴的交点为,则由,令,得 ③(ⅰ)若,由②③解得,或。即当时,直线与没有公共点,与有一个公共点,故此时直线与轨迹恰好有一个公共点。(ⅱ)若或由②③解得,或。即当时,直线与没有公共点,与有一个公共点,当时,直线与只有两个公共点,与没有公共点故当时,直线与轨迹恰好有两个公共点。(ⅲ)若由②③解得,或即当时,直线与有两个公共点,与有一个公共点故此时直线与轨迹恰好有三个公共点。综合(1)(2)可知,当时,直线与轨迹恰好有一个公共点;当时,直线与轨迹恰好有两个公共点;当时,直线与轨迹恰好有三个公共点。7. (2014·湖北高考文科·T13)(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程.(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1).求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.【解题指南】(1)设出M点的坐标,直接由题意列等式,整理后即可得到M的轨迹C的方程.(2)设出直线l的方程为y-1=k(x+2),和(1)中的轨迹方程联立化为关于y的一元二次方程,求出判别式,再在直线y-1=k(x+2)中取y=0得到x0=-,然后分判别式小于0、等于0、大于0结合x0<0求解使直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.【解析】(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即,化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0).依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.①①当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点.②当k≠0时,方程①的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).②设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③(ⅰ)若由②③解得k<-1,或k>.即当k∈(-∞,-1)∪∪{0}时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点,故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.(ⅱ)若或由②③解得k∈,或-≤k<0.即当k∈时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈∪时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.(ⅲ)若由②③解得-1
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