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高中数学必修四考点大全.doc

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高中数学 必修 考点 大全
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.知识点串讲 必修四第一章:三角函数1.1.1 任意角1、角的有关概念: ①角的定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形. 始边终边顶点AOB②角的名称: ③角的分类: 零角:射线没有任何旋转形成的角正角:按逆时针方向旋转形成的角负角:按顺时针方向旋转形成的角 2、象限角的概念: ①定义:若将角顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边(端点除外)在第几象限,我们就说这个角是第几象限角.终边相同的角的表示:所有与角α终边相同的角,连同α在内,可构成一个集合S={ β | β = α + k·360 ° ,k∈Z},即任一与角α终边相同的角,都可以表示成角α与整个周角的和.注意:⑴ k∈Z ⑵ α是任一角;⑶ 终边相同的角不一定相等,但相等的角终边一定相同.终边相同的角有无限个,它们相差360°的整数倍;⑷ 角α + k·720 °与角α终边相同,但不能表示与角α终边相同的所有角.3、写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示) .解:{α | α = 90°+ n·180°,n∈Z}.4、已知α角是第三象限角,则2α,各是第几象限角?解:角属于第三象限, k·360°+180°<α<k·360°+270°(k∈Z)因此,2k·360°+360°<2α<2k·360°+540°(k∈Z)即(2k +1)360°<2α<(2k +1)360°+180°(k∈Z)故2α是第一、二象限或终边在y轴的非负半轴上的角.又k·180°+90°<<k·180°+135°(k∈Z) .当k为偶数时,令k=2n(n∈Z),则n·360°+90°<<n·360°+135°(n∈Z) ,当k为奇数时,令k=2n+1 (n∈Z),则n·360°+270°<<n·360°+315°(n∈Z) ,因此属于第二或第四象限角.1.1.2弧度制1、弧度制我们规定,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角;用弧度来度量角的单位制叫做弧度制.在弧度制下, 1弧度记做1rad.在实际运算中,常常将rad单位省略.2、弧度制的性质:①半圆所对的圆心角为 ②整圆所对的圆心角为③正角的弧度数是一个正数. ④负角的弧度数是一个负数.⑤零角的弧度数是零. ⑥角α的弧度数的绝对值|α|=3、弧长公式 弧长等于弧所对应的圆心角(的弧度数)的绝对值与半径的积.证法一:∵圆的面积为,∴圆心角为1rad的扇形面积为,又扇形弧长为l,半径为R, ∴扇形的圆心角大小为rad, ∴扇形面积.证法二:设圆心角的度数为n,则在角度制下的扇形面积公式为,又此时弧长,∴.可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化,而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多.1.2.1任意角的三角函数1、三角函数定义在直角坐标系中,设α是一个任意角,α终边上任意一点(除了原点)的坐标为,它与原点的距离为,那么(1)比值叫做α的正弦,记作,即; (2)比值叫做α的余弦,记作,即; (3)比值叫做α的正切,记作,即; (4)比值叫做α的余切,记作,即; 2.三角函数的定义域、值域函 数定 义 域值 域3、求函数的值域解: 定义域:cosx¹0 ∴x的终边不在x轴上 又∵tanx¹0 ∴x的终边不在y轴上∴当x是第Ⅰ象限角时, cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2 …………Ⅱ…………, |cosx|=-cosx |tanx|=-tanx ∴y=-2…………ⅢⅣ………, |cosx|=-cosx |tanx|=tanx ∴y=04、诱导公式5、三角函数线的定义:设任意角的顶点在原点,始边与轴非负半轴重合,终边与单位圆相交与点,过作轴的垂线,垂足为;过点作单位圆的切线,它与角的终边或其反向延长线交与点.(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅳ)(Ⅲ) 由四个图看出:当角的终边不在坐标轴上时,有向线段,于是有, ,我们就分别称有向线段为正弦线、余弦线、正切线。说明:(1)三条有向线段的位置:正弦线为的终边与单位圆的交点到轴的垂直线段;余弦线在轴上;正切线在过单位圆与轴正方向的交点的切线上,三条有向线段中两条在单位圆内,一条在单位圆外。(2)三条有向线段的方向:正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点;余弦线由原点指向垂足;正切线由切点指向与的终边的交点。(3)三条有向线段的正负:三条有向线段凡与轴或轴同向的为正值,与轴或轴反向的为负值。(4)三条有向线段的书写:有向线段的起点字母在前,终点字母在后面。6、利用三角函数线比较下列各组数的大小:1° 与 2° 与 解: 如图可知: tan tan 1.2.2同角三角函数的基本关系1、 由三角函数的定义,我们可以得到以下关系:1. (1)商数关系: (2)平方关系:2、已知,并且是第二象限角,求. 解:, ∴又∵是第二象限角, ∴,即有,从而, 3、已知,求 4、求证:.证法一:由题义知,所以.∴左边=右边.∴原式成立.证法二:由题义知,所以.又∵,∴.证法三:由题义知,所以.,∴.1.3诱导公式1、诱导公式(一)诱导公式(二)诱导公式(三)诱导公式(四)sin(p-a)=sina cos(p -a)=-cosa tan (p-a)=-tana诱导公式(五)诱导公式(六)2、化简:3、4、化简: 5、1.4.1正弦、余弦函数的图象1、正弦函数y=sinx的图象和余弦函数y=cosx的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线.2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(描点法):正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0) (,1) (p,0) (,-1) (2p,0)余弦函数y=cosx xÎ[0,2p]的五个点关键是哪几个?(0,1) (,0) (p,-1) (,0) (2p,1)3、别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足下列条件的x的集合: 1.4.2 正弦、余弦函数的性质1、奇偶性: y=cosx是偶函数 y=sinx是奇函数。2、单调性正弦函数在每一个闭区间[-+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间[+2kπ,+2kπ](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.余弦函数在每一个闭区间[(2k-1)π,2kπ](k∈Z)上都是增函数,其值从-1增加到1;在每一个闭区间[2kπ,(2k+1)π](k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.3、有关对称轴观察正、余弦函数的图形,可知y=sinx的对称轴为x= k∈Z y=cosx的对称轴为x= k∈Z4、判断下列函数的奇偶性 (1) (2)1.4.3正切函数的性质与图象1、正切函数的定义域是什么? 2、,且的图象,称“正切曲线”。y0x 3、正切函数的性质(1)定义域:;(2)值域:R 观察:当从小于,时, 当从大于,时,。(3)周期性:;(4)奇偶性:由知,正切函数是奇函数;(5)单调性:在开区间内,函数单调递增。4、求下列函数的周期:(1) 答:。 (2) 答:。说明:函数的周期.5、求函数的定义域、值域,指出它的周期性、奇偶性、单调性, 解:1、由得,所求定义域为2、值域为R,周期, 3、在区间上是增函数。1.5函数y=Asin(wx+j)(A>0,w>0)的图象1、函数y = Asin(wx+j),(A>0,w>0)的图像可以看作是先把y = sinx的图像上所有的点向左(j>0)或向右(j<0)平移|j|个单位,再把所得各点的横坐标缩短(w>1)或伸长(01)或缩短(0 0,(a)×b =|a||b|cosq, (a×b) =|a||b|cosq,a×(b) =|a||b|cosq,若< 0,(a)×b =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq,(a×b) =|a||b|cosq,a×(b) =|a||b|cos(p-q) = -|a||b|(-cosq) =|a||b|cosq.3.分配律:(a + b)×c = a×c + b×c 在平面内取一点O,作= a, = b,= c, ∵a + b (即)在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和,即 |a + b| cosq = |a| cosq1 + |b| cosq2 ∴| c | |a + b| cosq =|c| |a| cosq1 + |c| |b| cosq2, ∴c×(a + b) = c×a + c×b 即:(a + b)×c = a×c + b×c说明:(1)一般地,(a·b)с≠a(b·с)(2)a·с=b·с,с≠0a=b(3)有如下常用性质:a2=|a|2,(a+b)(с+d)=a·с+a·d+b·с+b·d5、已知|a|=12, |b|=9,,求与的夹角。6、已知|a|=6, |b|=4, a与b的夹角为60o求:(1)(a+2b)·(a-3b). (2)|a+b|与|a-b|. ( 利用 ) 7、已知|a|=3, |b|=4, 且a与b不共线,k为何值时,向量a+kb与a-kb互相垂直. 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1、平面两向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.即2、平面内两点间的距离公式 (1)设,则或. (2)如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、, 那么(平面内两点间的距离公式)3、 向量垂直的判定设,,则4、 两向量夹角的余弦() cosq =5、已知a=(1,),b=(+1,-1),则a与b的夹角是多少?分析:为求a与b夹角,需先求a·b及|a|·|b|,再结合夹角θ的范围确定其值.解:由a=(1,),b=(+1,-1)有a·b=+1+(-1)=4,|a|=2,|b|=2.记a与b的夹角为θ,则cosθ= 又∵0≤θ≤π,∴θ=评述:已知三角形函数值求角时,应注重角的范围的确定.6、在△ABC中,=(2, 3),=(1, k),且△ABC的一个内角为直角,求k值.解:当A = 90°时,×= 0,∴2×1 +3×k = 0 ∴k = 当B = 90°时,×= 0,=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)∴2×(-1) +3×(k-3) = 0 ∴k = 当C = 90°时,×= 0,∴-1 + k(k-3) = 0 ∴k = 2.5.1平面几何中的向量方法例1. 已知AC为⊙O的一条直径,∠ABC为圆周角.求证:∠ABC=90o.证明:设 2.5.2向量在物理中的应用举例1、如图,一条河的两岸平行,河的宽度d=500 m,一艘船从A处出发到河对岸.已知船的速度||=10 km/h,水流速度||=2 km/h,问行驶航程最短时,所用时间是多少(精确到0.1 min)?第三章:三角恒等变换3.1.1 两角差的余弦公式1、两角和差的余弦公式:2、利用和、差角余弦公式求、的值.解:分析:把、构造成两个特殊角的和、差. 3、已知,是第三象限角,求的值.解:因为,由此得又因为是第三象限角,所以所以3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(一)1、 .2、.3、已知求的值.()4、利用和(差)角公式计算下列各式的值:(1)、;(2)、;(3)、.解:(1)、;(2)、;(3)、.3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)1、化简解: 2、归纳:3、已知:函数(1) 求的最值。(2)求的周期、单调性。4、已知A、B、C为△ABC的三內角,向量,,且,(1) 求角A。(2)若,求tanC的值。3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式1、;;..注意: 2、已知求的值.解:由得.又因为.于是;;.3、在△ABC中,,4、已知求的值.解:,由此得解得或.5、已知3.2简单的三角恒等变换1、试以表示.解:我们可以通过二倍角和来做此题.因为,可以得到;因为,可以得到.又因为.2、已知,且在第二象限,求的值。3、求证:(1)、;(2)、.证明:(1)因为和是我们所学习过的知识,因此我们从等式右边着手.;.两式相加得;即;(2)由(1)得①;设,那么.把的值代入①式中得.4、 ;.解:(1)由得(2)5、解: .6、已知函数(1) 求的最小正周期,(2)当时,求的最小值及取得最小值时的集合.θ7、把一段半径为R的圆木锯成横截面为矩形的木料,怎样锯法能使横截面的面积最大?(分别设边与角为自变量)解:(1)如图,设矩形长为l,则面积,所以当且仅当即时,取得最大值,此时S取得最大值,矩形的宽为即长、宽相等,矩形为圆内接正方形.(2)设角为自变量,设对角线与一条边的夹角为,矩形长与宽分别为、,所以面积.而,所以,当且仅当时,S取最大值,所以当且仅当即时, S取最大值,此时矩形为内接正方形.PQRSO8、已知半径为1的半圆,PQRS是半圆的内接矩形如图,问P点在什么位置时,矩形的面积最大,并求最大面积时的值.解:设则故S四边形PQRS故为时,
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