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勾股定理考点梳理.doc

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勾股定理 考点 梳理
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.勾股定理知识点梳理1.直角三角型有哪些特殊的性质;①角,直角三角型的两锐角互余;②边,直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,用符号表示:在Rt△ABC中,;③面积,两种计算面积的方法。2.如何判定一个三角形是直角三角形呢?①有一个内角为直角的三角形是直角三角形;②两个内角互余的三角形是直角三角形;③如果三角形的三边长为a、b、c满足,那么这个三角形是直角三角形3.勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别:勾股定理是直角三角形的性质定理,而其逆定理是判定定理;联系:勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反,都与直角三角形有关。4.互逆命题的概念  如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设,这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。5.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即中,,,为正整数时,称,,为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如;;;,8,15,17;9,40,41等6.勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法 用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一:,,化简可证.方法二:四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为  大正方形面积为所以方法三:,,化简得证一. 典型例题类型一:勾股定理的直接用法 1、在Rt△ABC中,∠C=90° (1)已知a=6, c=10,求b, (2)已知a=40,b=9,求c; (3)已知c=25,b=15,求a. 思路点拨: 写解的过程中,一定要先写上在哪个直角三角形中,注意勾股定理的变形使用。 举一反三 【变式】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少? 类型二:勾股定理的构造应用 2、如图,已知:在中,,,. 求:BC的长. 思路点拨:由条件,想到构造含角的直角三角形,为此作于D,则有,,再由勾股定理计算出AD、DC的长,进而求出BC的长. 举一反三【变式1】如图,已知:,,于P. 求证:. 【变式2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD的面积。 类型三:勾股定理的实际应用 (一)用勾股定理求两点之间的距离问题 3、如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60°方向走了到达B点,然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。 (1)求A、C两点之间的距离。 (2)确定目的地C在营地A的什么方向。 举一反三 【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门? 【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过,只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH.如图所示,点D在离厂门中线0.8米处,且CD⊥AB, 与地面交于H. (二)用勾股定理求最短问题 4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状,目前正在全国各地农村进行电网改造,某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点,现计划在四个村庄联合架设一条线路,他们设计了四种架设方案,如图实线部分.请你帮助计算一下,哪种架设方案最省电线. 思路点拨:解答本题的思路是:最省电线就是线路长最短,通过利用勾股定理计算线路长,然后进行比较,得出结论. 举一反三 【变式】如图,一圆柱体的底面周长为20cm,高AB为4cm,BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程. 解: 如图,在Rt△ABC中,BC=底面周长的一半=10cm, 根据勾股定理得 (提问:勾股定理) ∴ AC== =≈10.77(cm)(勾股定理). 答:最短路程约为10.77cm.类型四:利用勾股定理作长为的线段 5、作长为、、的线段。 思路点拨:由勾股定理得,直角边为1的等腰直角三角形,斜边长就等于,直角边为和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作。 举一反三 【变式】在数轴上表示的点。 解析:可以把看作是直角三角形的斜边,, 为了有利于画图让其他两边的长为整数, 而10又是9和1这两个完全平方数的和,得另外两边分别是3和1。 作法:如图所示在数轴上找到A点,使OA=3,作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径, 以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为。类型五:逆命题与勾股定理逆定理 6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确 1.原命题:猫有四只脚.(正确) 2.原命题:对顶角相等(正确) 3.原命题:线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等.(正确) 4.原命题:角平分线上的点,到这个角的两边距离相等.(正确) 思路点拨:掌握原命题与逆命题的关系。 解析:1. 逆命题:有四只脚的是猫(不正确) 2. 逆命题:相等的角是对顶角(不正确) 3. 逆命题:到线段两端距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上.(正确) 4. 逆命题:到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上.(正确) 总结升华:本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。 7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状。 总结升华:勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中也常要用到。 举一反三【变式1】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。 【变式2】已知:△ABC的三边分别为m2-n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且m>n),判断△ABC是否为直角三角形. 分析:本题是利用勾股定理的的逆定理, 只要证明:a2+b2=c2即可 证明: 所以△ABC是直角三角形. 【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点,F为AB上一点,且BF=AB。 请问FE与DE是否垂直?请说明。 经典例题精析类型一:勾股定理及其逆定理的基本用法 1、若直角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。 思路点拨:在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度,求面积,可以先通过比值设未知数,再根据勾股定理列出方程,求出未知数的值进而求面积。 总结升华:直角三角形边的有关计算中,常常要设未知数,然后用勾股定理列方程(组)求解。 举一反三 【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。 【变式2】直角三角形周长为12cm,斜边长为5cm,求直角三角形的面积。 【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1,n+2,n+3,求n。 思路点拨:首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理列方程求解。 【变式4】以下列各组数为边长,能组成直角三角形的是( ) A、8,15,17 B、4,5,6 C、5,8,10 D、8,39,40 解析:此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断, 【变式5】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。 类型二:勾股定理的应用 2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇,且∠QPN=30°,点A处有一所中学,AP=160m。假设拖拉机行驶时,周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?请说明理由,如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h,那么学校受影响的时间为多少秒? 思路点拨:(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响,大于100m则不受影响,故作垂线段AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间,实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校,行至哪一点后结束影响学校。 同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响,那么,AD=100(m),BD=60(m), ∴CD=120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h=5m/s t=120m÷5m/s=24s。 答:拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时,学校会受到噪声影响,学校受影响的时间为24秒。 总结升华:勾股定理是求线段的长度的很重要的方法,若图形缺少直角条件,则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。 举一反三 【变式1】如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径”,在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了__________步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。 解析:他们原来走的路为3+4=7(m) 设走“捷径”的路长为xm,则 故少走的路长为7-5=2(m) 又因为2步为1m,所以他们仅仅少走了4步路。【答案】4 【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形。 (1)直接写出单位正三角形的高与面积。 (2)图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形?平行四边形ABCD的面积是多少? (3)求出图中线段AC的长(可作辅助线)。 类型三:数学思想方法(一)转化的思想方法我们在求三角形的边或角,或进行推理论证时,常常作垂线,构造直角三角形,将问题转化为直角三角形问题来解决. 3、如图所示,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长。 思路点拨:现已知BE、CF,要求EF,但这三条线段不在同一三角形中,所以关键是线段的转化,根据直角三角形的特征,三角形的中线有特殊的性质,不妨先连接AD. 总结升华:此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题,我们可以了解:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。 (二)方程的思想方法 4、如图所示,已知△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,,求、、的值。 思路点拨:由,再找出、的关系即可求出和的值。 总结升华:在直角三角形中,30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半。 举一反三:【变式】如图所示,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EF的长。
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