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函数与~方程的思想方法.doc

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.函数与方程的思想方法函数思想,是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是:实际问题→数学问题→代数问题→方程问题。宇宙世界,充斥着等式和不等式。我们知道,哪里有等式,哪里就有方程;哪里有公式,哪里就有方程;求值问题是通过解方程来实现的……等等;不等式问题也与方程是近亲,密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别,如函数y=f(x),就可以看作关于x、y的二元方程f(x)-y=0。可以说,函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性,都是应用方程思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系,函数思想通过提出问题的数学特征,建立函数关系型的数学模型,从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地,函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题,经常利用的性质是:f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等,要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中,善于挖掘题目中的隐含条件,构造出函数解析式和妙用函数的性质,是应用函数思想的关键。对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时,才能产生由此及彼的联系,构造出函数原型。另外,方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题,即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广,在概念性、应用性、理解性都有一定的要求,所以是高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是:遇到变量,构造函数关系解题;有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题,利用函数观点加以分析;含有多个变量的数学问题中,选定合适的主变量,从而揭示其中的函数关系;实际应用问题,翻译成数学语言,建立数学模型和函数关系式,应用函数性质或不等式等知识解答;等差、等比数列中,通项公式、前n项和的公式,都可以看成n的函数,数列问题也可以用函数方法解决。Ⅰ、再现性题组:1.方程lgx+x=3的解所在的区间为_____。A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,+∞)2.如果函数f(x)=x+bx+c对于任意实数t,都有f(2+t)=f(2-t),那么_____。A. f(2)0),则+=,解出x=2,再用万能公式,选A;5小题:利用是关于n的一次函数,设S=S=m,=x,则(,p)、(,q)、(x,p+q)在同一直线上,由两点斜率相等解得x=0,则答案:0;6小题:设cosx=t,t∈[-1,1],则a=t-t-1∈[-,1],所以答案:[-,1];7小题:设高h,由体积解出h=2,答案:24;8小题:设长x,则宽,造价y=4×120+4x×80+×80≥1760,答案:1760。Ⅱ、示范性题组:例1. 设a>0,a≠1,试求方程log(x-ak)=log(x-a)有实数解的k的范围。(89年全国高考)【分析】由换底公式进行换底后出现同底,再进行等价转化为方程组,分离参数后分析式子特点,从而选用三角换元法,用三角函数的值域求解。【解】 将原方程化为:log(x-ak)=log, 等价于 (a>0,a≠1)∴ k=- ( ||>1 ), 设=cscθ, θ∈(-,0)∪(0, ),则 k=f(θ)=cscθ-|ctgθ|当θ∈(-,0)时,f(θ)=cscθ+ctgθ=ctg<-1,故k<-1;当θ∈(0, )时,f(θ)=cscθ-ctgθ=tg∈(0,1),故00),设曲线C:y=x-ak,曲线C:y= (y>0),如图所示。由图可知,当-ak>a或-a<-ak<0时曲线C与C有交点,即方程有实解。所以k的取值范围是:k<-1或0ak,即-k>0,通分得<0,解得k<-1或0m(x-1)对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立。求x的取值范围。【分析】 此问题由于常见的思维定势,易把它看成关于x的不等式讨论。然而,若变换一个角度以m为变量,即关于m的一次不等式(x-1)m-(2x-1)<0在[-2,2]上恒成立的问题。对此的研究,设f(m)=(x-1)m-(2x-1),则问题转化为求一次函数(或常数函数)f(m)的值在[-2,2]内恒为负值时参数x应该满足的条件。【解】问题可变成关于m的一次不等式:(x-1)m-(2x-1)<0在[-2,2] 恒成立,设f(m)=(x-1)m-(2x-1),则 解得x∈(,)【注】 本题的关键是变换角度,以参数m作为自变量而构造函数式,不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题。本题有别于关于x的不等式2x-1>m(x-1)的解集是[-2,2]时求m的值、关于x的不等式2x-1>m(x-1)在[-2,2]上恒成立时求m的范围。一般地,在一个含有多个变量的数学问题中,确定合适的变量和参数,从而揭示函数关系,使问题更明朗化。或者含有参数的函数中,将函数自变量作为参数,而参数作为函数,更具有灵活性,从而巧妙地解决有关问题。例3. 设等差数列{a}的前n项的和为S,已知a=12,S>0,S<0 。①.求公差d的取值范围; ②.指出S、S、…、S中哪一个值最大,并说明理由。(92年全国高考)【分析】 ①问利用公式a与S建立不等式,容易求解d的范围;②问利用S是n的二次函数,将S中哪一个值最大,变成求二次函数中n为何值时S取最大值的函数最值问题。【解】① 由a=a+2d=12,得到a=12-2d,所以S=12a+66d=12(12-2d)+66d=144+42d>0,S=13a+78d=13(12-2d)+78d=156+52d<0。 解得:-0、a<0 ,即:由d<0知道a>a>…>a,由S=13a<0得a<0,由S=6(a+a)>0得a>0。所以,在S、S、…、S中,S的值最大。例4. 如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在平面,C是圆周上任一点,设∠BAC=θ,PA=AB=2r,求异面直线PB和AC的距离。【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值,从而设定变量,建立目标函数而求函数最小值。 P MA H B D C【解】 在PB上任取一点M,作MD⊥AC于D,MH⊥AB于H,设MH=x,则MH⊥平面ABC,AC⊥HD 。∴MD=x+[(2r-x)sinθ]=(sin+1)x-4rsinθx+4rsinθ=(sinθ+1)[x-]+即当x=时,MD取最小值为两异面直线的距离。【注】 本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”,并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”。一般地,对于求最大值、最小值的实际问题,先将文字说明转化成数学语言后,再建立数学模型和函数关系式,然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答。比如再现性题组第8题就是典型的例子。例5. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列,且tgA·tgC=2+,又知顶点C的对边c上的高等于4,求△ABC的三边a、b、c及三内角。【分析】已知了一个积式,考虑能否由其它已知得到一个和式,再用方程思想求解。【解】 由A、B、C成等差数列,可得B=60°;由△ABC中tgA+tgB+tgC=tgA·tgB·tgC,得tgA+tgC=tgB(tgA·tgC-1)= (1+)设tgA、tgC是方程x-(+3)x+2+=0的两根,解得x=1,x=2+设A0在x∈(-∞,1]上恒成立的不等式问题。【解】 由题设可知,不等式1+2+4a>0在x∈(-∞,1]上恒成立,即:()+()+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立。设t=(), 则t≥, 又设g(t)=t+t+a,其对称轴为t=-∴ t+t+a=0在[,+∞)上无实根, 即 g()=()++a>0,得a>-所以a的取值范围是a>-。【注】对于不等式恒成立,引入新的参数化简了不等式后,构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题,其中也联系到了方程无解,体现了方程思想和函数思想。一般地,我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系,将问题进行相互转化。在解决不等式()+()+a>0在x∈(-∞,1]上恒成立的问题时,也可使用“分离参数法”: 设t=(), t≥,则有a=-t-t∈(-∞,-],所以a的取值范围是a>-。其中最后得到a的范围,是利用了二次函数在某区间上值域的研究,也可属应用“函数思想”。Ⅲ、巩固性题组:1. 方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内解的个数是_____。A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 已知函数f(x)=|2-1|,af(c)>f(b),则_____。A. a<0,b<0,c>0 B. a<0,b>0,c>0 C. 2<2 D. 2+2<23. 已知函数f(x)=log(x-4x+8), x∈[0,2]的最大值为-2,则a=_____。A. B. C. 2 D. 44.已知{a}是等比数列,且a+a+a=18,a+a+a=-9,S=a+a+…+a,那么S等于_____。 A. 8 B. 16 C. 32 D. 485.等差数列{a}中,a=84,前n项和为S,已知S>0,S<0,则当n=______时,S最大。6. 对于满足0≤p≤4的所有实数p,使不等式x+px〉4x+p-3成立的x的取值范围是________。7.若关于x的方程|x-6x+8|=a恰有两个不等实根,则实数a的取值范围是____________。8.已知点A(0,1)、B(2,3)及抛物线y=x+mx+2,若抛物线与线段AB相交于两点,求实数m的取值范围。9.已知实数x、y、z满足等式x+y+z=5和xy+yz+zx=3,试求z的取值范围。10.已知lg-4·lg·lg=0,求证:b是a、c的等比中项。11.设α、β、γ均为锐角,且cosα+cosβ+cosγ+2cosα·cosβ·cosγ=1,求证:α+β+γ=π 。12.当p为何值时,曲线y=2px (p>0)与椭圆(x―2―)+y=1有四个交点。(88年全国高考)13.已知关于x的实系数二次方程x+ax+b=0有两个实数根α、β。证明:①. 如果|α|<2,|β|<2,那么2|a|<4+b且|b|<4;②. 如果2|a|<4+b且|b|<4,那么|α|<2,|β|<2 。 (93年全国理)14.设f(x)是定义在区间(-∞,+∞)上以2为周期的函数,对k∈Z,用I表示区间(2k-1,2k+1],已知当x∈I时,f(x)=x。 ①.求f(x)在I上的解析表达式; ②.对自然数k,求集合M={a|使方程f(x)=ax在I上有两个不相等的实根}。 (89年全国理)
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