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【可编辑】南京工业大学 线性代数A 2008~2009学年第一学期.doc

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可编辑 【可编辑】南京工业大学 线性代数A 20082009学年第一学期 编辑 南京 工业大学 线性代数 2008 2009 学年 第一 学期
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南京工业大学 线 性 代 数 试题(A)卷(闭) 2008--2009学年第 一 学期 使用班级 江浦各专业本科生 班级 学号 姓名 题号一二三四五六七八总分得分(符号说明:表示单位矩阵,表示矩阵的秩,表示行列式,表示矩阵的转置。)一、 填空题(每题3分,共15分)1.设3阶矩阵,则 。2.设三阶矩阵的特征值为1,-1,3,再设则 .。3.设阶矩阵的各行元素之和等于零,且的秩为,则齐次线性方程组的通解为 。4.设向量为属于实对称矩阵的不同特征值的特征向量,则 。5.已知,则 。二、选择题(每题3分,共15分)1.设齐次方程组的一个基础解系为,则 ( ). 2.设阶矩阵有个不同的特征值,而且。如果与对角矩阵相似,则( ). (A) (C) (D) 3.若向量组线性无关,向量组线性相关, 则 ( ).必不可由线性表示 必可由线性表示 必不可由线性表示 必可由线性表示4. 设阶矩阵, 则如下结论正确的是( ).(A) (B)(C) (D) 5. 对于矩阵方程,以下结论正确的是( ). (A) (B) (C)如可逆 (D)以上均不正确.三、 (10分)计算下行列式 四、 (10分)设三阶矩阵满足矩阵方程,试求矩阵.五、(14分)设向量,求向量组的秩和极大无关组,并把极大无关组以外的向量用极大无关组线性表示.六、(13分)当为何值时,线性非齐次方程组 无解、有唯一解、或有无穷多组解?在有无穷多解时,求出其通解.七、(15分)已知二次型,试回答下列问题1) 写出此二次型的矩阵;2) 利用正交变换该二次型化为标准型,并给出所使用的正交变换和标准型;3) 判断该二次型是否具有正定性。八、(8分)Housesholder矩阵是计算数学中一类重要的变换(镜面反射)方法,一般用来化矩阵为上Hesseberg矩阵。设实向量且,则其一般形式为试回答下列问题:1) 证明:Householder矩阵是实对称正交矩阵;(3分)2) 证明:一般实对称正交矩阵的特征值只能是1或-1,并确定Householder矩阵的特征值(3分)3) 对于,试给出此Householder矩阵属于各特征值的特征向量.(2分)南京工业大学 线 性 代 数 试题 (A)卷试题标准答案2008--2009学年第一学期 使用班级 江浦各专业本科生 一、 填空题(每题3分,共15分)(1) 0 (2.) -432 (3) (4) 1或-1 (5).二、选择题(每题3分,共15分)(1) D (2) C (3) B (4) A (5) C三、(10分)解:(从第二列至第n列加到第1列)――――――――――――――――――――5分(提取公因子)=()――――――――――8分=―――――――――――――――――――――――10分四、(10分)解:由得 ―――――――6分又,故可逆,上式两边同时左乘得 。――――――――10分五、(14分)解:以为列生成矩阵,并对施行初等行变换将其化为行最简形. ―6分 ―――8分所以,一个极大无关组为,―――――――(12分)且―――――――――――――――(14分)六、(13分)对方程组的增广矩阵进行初等行变换 ------------------------5分显然可见: 当时方程组无解,当时方程组有唯一解,当时方程组有无穷多组解.――――――――――――――――――――――――8分当时继续将矩阵化为行最简形得 与原方程组等价的方程组为 令,得原方程组的一个特解为。――――――――11分与原方程组对应的齐次方程组等价的方程组为 令得齐次方程组的一个基础解系为故原方程组有无穷多组解时的通解为,为任意常数.―――13分七、(15分)解:1)二次型的矩阵为 ―――――――――――――3分2)先计算矩阵的特征多项式 故矩阵的特征值分别为――――――――――――6分 再计算矩阵的属于各特征值的特征向量: 当时,求解方程组得一个特征向量为.当时,求解方程组得一个特征向量为.当时,求解方程组得一个特征向量为.令,作变换,则此变换即为正交变换,该二次型在此变换下的标准型为。――――――――――――12分3)因为矩阵的特征值都是正的,故该二次型为正定二次型.―――――――15分八、1)显然为实矩阵,又 , .所以为实对称正交矩阵.――――――――――――――――――――3分2)设是实对称矩阵正交矩阵的属于特征值的特征向量,则,而,则必有容易验证 ,即是的一个特征值,设是和正交的非零向量,则有,又R(u)=1,这种非零向量可以求出个。所以1是的重特征值。―――――――――――――――――――――――――6分3)由2)可知是的属于特征值-1的一个特征向量,而方程组的一个基础解系即为属于特征值1的个特征向量,比如 即是属于特征值1的个特征向量。―――――――――――――――8分
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