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【可编辑】南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学试题及答案.doc

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可编辑 编辑 南京市 盐城市 2018 三年级 第一次 模拟考试 数学试题 答案
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南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数 学 试 题(总分160分,考试时间120分钟)注意事项:  1.本试卷考试时间为120分钟,试卷满分160分,考试形式闭卷.  2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置,否则不给分.  3.答题前,务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上.参考公式:柱体体积公式:,其中为底面积,为高.一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上)1.已知集合,,则 ▲ .2.设复数为虚数单位),若为纯虚数,则的值为 ▲ .3.为调查某县小学六年级学生每天用于课外阅读的时间,现从该县小学六年级4000名学生中随机抽取100名学生进行问卷调查,所得数据均在区间[50,100]上,其频率分布直方图如图所示,则估计该县小学六年级学生中每天用于阅读的时间在(单位:分钟)内的学生人数为 ▲ .时间(单位:分钟)频率组距50 60 70 80 90 1000.035a0.0200.0100.005第3题图Read If Then Else End IfPrint 第4题图4.执行如图所示的伪代码,若,则输出的的值为 ▲ .5.口袋中有形状和大小完全相同的4个球,球的编号分别为1,2,3,4,若从袋中一次随机摸出2个球,则摸出的2个球的编号之和大于4的概率为 ▲ .6.若抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合,则实数的值为 ▲ .7.设函数的值域为,若,则实数的取值范围是 ▲ .8.已知锐角满足,则的值为 ▲ .9.若函数在区间上单调递增,则实数的取值范围是 ▲ .10.设为等差数列的前项和,若的前2017项中的奇数项和为2018,则的值为 ▲ .11.设函数是偶函数,当x≥0时,=,若函数 有四个不同的零点,则实数m的取值范围是 ▲ .AB第13题图12.在平面直角坐标系中,若直线上存在一点,圆上存在一点,满足,则实数的最小值为 ▲ .13.如图是蜂巢结构图的一部分,正六边形的边长均为1,正六边形的顶点称为“晶格点”.若四点均位于图中的“晶格点”处,且的位置所图所示,则的最大值为 ▲ .14.若不等式对任意都成立,则实数的最小值为 ▲ .二、解答题(本大题共6小题,计90分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15.(本小题满分14分)ABCA1B1C1MN第15题图如图所示,在直三棱柱中,,点分别是的中点.(1)求证:∥平面;(2)若,求证:.16.(本小题满分14分)在中,角的对边分别为 已知.(1)若,求的值;(2)若,求的值.17.(本小题满分14分)有一矩形硬纸板材料(厚度忽略不计),一边长为6分米,另一边足够长.现从中截取矩形(如图甲所示),再剪去图中阴影部分,用剩下的部分恰好能折卷成一个底面是弓形的柱体包装盒(如图乙所示,重叠部分忽略不计),其中是以为圆心、的扇形,且弧,分别与边,相切于点,. (1)当长为1分米时,求折卷成的包装盒的容积;ADCBEGFOMNH第17题-图甲NEFGH第17题-图乙MN (2)当的长是多少分米时,折卷成的包装盒的容积最大?18. (本小题满分16分)如图,在平面直角坐标系中,椭圆的下顶点为,点是椭圆上异于点的动点,直线分别与轴交于点,且点是线段的中点.当点运动到点处时,点的坐标为.(1)求椭圆的标准方程;xyOBNMPQD第18题图(2)设直线交轴于点,当点均在轴右侧,且时,求直线的方程.19.(本小题满分16分)设数列满足,其中,且,为常数.(1)若是等差数列,且公差,求的值;(2)若,且存在,使得对任意的都成立,求的最小值;(3)若,且数列不是常数列,如果存在正整数,使得对任意的均成立. 求所有满足条件的数列中的最小值.20.(本小题满分16分)设函数,().(1)当时,若函数与的图象在处有相同的切线,求的值;(2)当时,若对任意和任意,总存在不相等的正实数,使得,求的最小值;(3)当时,设函数与的图象交于两点.求证:.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学附加题部分(本部分满分40分,考试时间30分钟)21.[选做题](在A、B、C、D四小题中只能选做2题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内) A.(选修4-1:几何证明选讲)ABEDFO·第21(A)图如图,已知为⊙的直径,直线与⊙相切于点,垂直于点. 若,求切点到直径的距离.B.(选修4-2:矩阵与变换)已知矩阵,求圆在矩阵的变换下所得的曲线方程. C.(选修4-4:坐标系与参数方程)在极坐标系中,直线与曲线()相切,求的值.D.(选修4-5:不等式选讲)已知实数满足,求当取最大值时的值.[必做题](第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内)22.(本小题满分10分)如图,四棱锥的底面是菱形,与交于点,底面,点为中点,.(1)求直线与所成角的余弦值;(2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值.MABCDOP第22题图23.(本小题满分10分) 已知,.(1)求的值;(2)试猜想的表达式(用一个组合数表示),并证明你的猜想.南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟考试数学参考答案一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,计70分.1. 2.1 3.1200 4.1 5. 6.6 7.8. 9. 10.4034 11. 12. 13.24 14.100二、解答题:本大题共6小题,计90分.解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内.15.证明:(1)因为是直三棱柱,所以,且,又点分别是的中点,所以,且.所以四边形是平行四边形,从而. ……………4分又平面,平面,所以∥面. ……………6分(2)因为是直三棱柱,所以底面,而侧面,所以侧面底面.又,且是的中点,所以.则由侧面底面,侧面底面,,且底面,得侧面. ……………8分又侧面,所以. ……………10分又,平面,且,所以平面. ……………12分又平面,所以. ……………14分16.解:(1)因为,则由正弦定理,得. ……………2分又,所以,即. ……………4分又是的内角,所以,故. ……………6分(2)因为, 所以,则由余弦定理,得,得. ……………10分从而, ……………12分又,所以.从而. ……………14分17.解:(1)在图甲中,连接交于点.设,在中,因为,所以,则.从而,即. ……………2分ADCBEGFOMNHT故所得柱体的底面积. ……………4分又所得柱体的高,所以.答:当长为1分米时,折卷成的包装盒的容积为立方分米. …………………6分(2)设,则,所以所得柱体的底面积. 又所得柱体的高,所以,其中. …………………10分令,则由,解得. …………………12分列表如下:+0-增极大值减所以当时,取得最大值.答:当的长为2分米时,折卷成的包装盒的容积最大. …………………14分18.解:(1)由,得直线的方程为. …………………2分令,得点的坐标为.所以椭圆的方程为. …………………4分将点的坐标代入,得,解得.所以椭圆的标准方程为. …………………8分(2)方法一:设直线的斜率为,则直线的方程为.在中,令,得,而点是线段的中点,所以.所以直线的斜率. ………………10分联立,消去,得,解得.用代,得. ………………12分又,所以,得. ………………14分故,又,解得.所以直线的方程为. ………………16分方法二:设点的坐标分别为.由,得直线的方程为,令,得.同理,得.而点是线段的中点,所以,故. …………………10分又,所以,得,从而,解得. …………………12分将代入到椭圆C的方程中,得.又,所以,即,解得(舍)或.又,所以点的坐标为.……………14分故直线的方程为. …………………16分19.解:(1)由题意,可得,化简得,又,所以. ………………4分(2)将代入条件,可得,解得,所以,所以数列是首项为1,公比的等比数列,所以. ……6分欲存在,使得,即对任意都成立,则,所以对任意都成立. ………………8分令,则,所以当时,;当时,;当时,.所以的最大值为,所以的最小值为. ………………10分(3)因为数列不是常数列,所以.①若,则恒成立,从而,,所以,所以,又,所以,可得是常数列.矛盾.所以不合题意. ………………12分②若,取(*),满足恒成立. ………………14分由,得.则条件式变为.由,知;由,知;由,知.所以,数列(*)适合题意.所以的最小值为. ………………16分20.解:(1)由,得,又,所以,.当时,,所以,所以. ………………2分因为函数与的图象在处有相同的切线,所以,即,解得. ………………4分(2)当时,则,又,设,则题意可转化为方程在上有相异两实根. ………………6分即关于的方程在上有相异两实根.所以,得,所以对恒成立. ………………8分因为,所以(当且仅当时取等号),又,所以的取值范围是,所以.故的最小值为. ………………10分(3)当时,因为函数与的图象交于两点,所以,两式相减,得. ………………12分要证明,即证,即证,即证. ………………14分令,则,此时即证.令,所以,所以当时,函数单调递增.又,所以,即成立;再令,所以,所以当时,函数单调递减,又,所以,即也成立.综上所述, 实数满足. ………………16分附加题答案ABEDFO·第21(A)图21.(A)解:如图,连接,,因为直线与⊙相切于点,所以,又因为垂直于,所以,所以,①在⊙中,所以,② ………………5分由①②得,即,又,,所以,所以,又,所以,即到直径的距离为4. ………………10分(B)解:设是圆上任意一点,则,设点在矩阵对应的变换下所得的点为,则,即,解得, ………………5分代入,得,即为所求的曲线方程. ………………10分(C)解:以极点O为原点,极轴为轴建立平面直角坐标系,由,得,得直线的直角坐标方程为. ………………5分曲线,即圆,所以圆心到直线的距离为.因为直线与曲线()相切,所以,即. ……………10分(D)解:由柯西不等式,得,即.而,所以,所以, ………………5分由,得,所以当且仅当时,.所以当取最大值时的值为. ………………10分22.解:(1)因为是菱形,所以.又底面,以为原点,直线 分别为轴,轴,轴,建立如图所示空间直角坐标系.则,,,,.MABCDOP第22题图xyz所以,,,,.则.故直线与所成角的余弦值为. ………5分(2),.设平面的一个法向量为,则,得,令,得,.得平面的一个法向量为.又平面的一个法向量为,所以,,.则.故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. ………………10分23.解:(1)由条件, ①,在①中令,得. ………………1分在①中令,得,得. ………………2分在①中令,得,得. ………………3分(2)猜想=(或=). ………………5分欲证猜想成立,只要证等式成立.方法一:当时,等式显然成立,当时,因为,故.故只需证明.即证.而,故即证 ②.由等式可得,左边的系数为.而右边,所以的系数为.由恒成立可得②成立.综上,成立. ………………10分方法二:构造一个组合模型,一个袋中装有个小球,其中n个是编号为1,2,…,n的白球,其余n-1个是编号为1,2,…,n-1的黑球,现从袋中任意摸出n个小球,一方面,由分步计数原理其中含有个黑球(个白球)的n个小球的组合的个数为,,由分类计数原理有从袋中任意摸出n个小球的组合的总数为.另一方面,从袋中个小球中任意摸出n个小球的组合的个数为.故,即②成立. 余下同方法一. ………………10分方法三:由二项式定理,得 ③.两边求导,得 ④.③×④,得 ⑤.左边的系数为.右边的系数为.由⑤恒成立,可得.故成立. ………………10分高三数学试题第14页(共4页)
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