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【可编辑】南通市2016届高三全真模拟数学试题3.doc

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可编辑 编辑 南通市 2016 届高三全真 模拟 数学试题
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2016年数学全真模拟试卷三试题Ⅰ一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.1.已知集合A{1,0,2},B{x|x2n1,n∈Z},则A∩B ▲ . 【答案】{1}2. 设,是平面内两个不共线的向量,,.若,则的值 为 ▲ . 【答案】63. 从集合{1,2,3}中随机取一个元素,记为a,从集合{2,3,4}中随机取一个元素,记为b, 则a≤b的概率为 ▲ . 【答案】开始输入ww50NY输出c结束(第4题)c← 25+(w-50)×0.8 c← 0.5w4. 如图,是某铁路客运部门设计的甲、乙两地之间旅客托运 行李的费用(单位:元)与行李重量(单位:千克)之间的流程图.假定某旅客的托运费为10元,则该旅客托运的行李重量为 ▲ 千克. 【答案】205. 函数的零点个数为 ▲ .【答案】3(第7题)O 20 40 60 80 100 成绩 6 42 108 人数6. 在平面直角坐标系中,曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是 ▲ . 【答案】7. 如图,是某班一次竞赛成绩的频数分布直方图,利用组中值可估计其的平均分为 ▲ .【答案】628. 若函数的图象关于坐标原点中心对称,且在轴右侧 的第一个极值点为,则函数的最小正周期为 ▲ . 【答案】9. 关于定义在上的函数,给出下列三个命题:①若,则不是奇函数;②若,则在上不是单调减函数;③若对任意的恒成立,则是周期函数.其中所有正确的命题序号是 ▲ . 【答案】②③10.已知数列的前项和,且既不是等差数列,也不是等比数列,则的 取值集合是 ▲ .【答案】. 【解析】.11.如果将直线:向左平移1个单位,再向下平移2个单位,所得直线与圆: 相切,则实数的值构成的集合为 ▲ .【答案】{,}【解析】易得直线:,即,圆: 的圆心到直线:的距离,解得或.12.已知正数x,y满足,则y的最大值为 ▲ .【答案】【解析】由,得, 所以,从而,解得. 13.考察下列等式: , , ,……,其中为虚数单位,an,bn(n)均为实数.由归纳可得,a2015b2015的值为 ▲ . 【答案】0【解析】通过归纳可得, ,从而a2015b2015 0.14.在△ABC中,,.设,交于点,且,(,),则的值为 ▲ .【答案】【解析】不妨考虑等腰直角三角形ABC,设AB,, 以AB,分别为轴,轴建立平面直角坐标系, 则A,,,,, 直线的方程为:,① 直线的方程为:,② 由①②得,,,所以, 代入,得,,, 解得,,故.二、解答题:本大题共6小题,共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.15.(本题满分14分)已知△ABC内接于单位圆(半径为1个单位长度的圆),且.(1)求角的大小; (2)求△ABC面积的最大值.(1)由得, 所以,(4分) 故△ABC 中,,(6分)(2)由正弦定理得,即,(8分) 由余弦定理得,即,(10分) 由得,(当且仅当时取等号)(12分) 所以.(14分)ABCP(第16题)D16.(本题满分14分)如图,在四棱锥中,锐角三角形所在的平面与底面垂直,. (1)求证:平面;(2)求证:平面. 证明:(1)在平面内过点作于, 因为平面平面,平面平面,平面, 所以平面,(4分) 而平面,所以, 由得, 又,平面, 所以平面,(8分) (2)因为平面,故, 由得, 故在平面中,,(11分) 又平面,平面, 所以平面.(14分)17.(本题满分14分)某公司设计如图所示的环状绿化景观带,该景观带的内圈由两条平行线段(图中的AB,DC)和两个半圆构成,设AB = x m,且.(1)若内圈周长为400 m,则x取何值时,矩形ABCD的面积最大?(2)若景观带的内圈所围成区域的面积为 m2,则x取何值时,内圈周长最小?ABCD【解】设题中半圆形半径为r(m),矩形ABCD的面积为S(m2),内圈周长为c(m).(1)由题意知:,且,即,于是(m2)当且仅当(m)时,等号成立.答:当x = 100(m)时,矩形ABCD的面积最大.(6分)(2)由题意知:,于是, 从而 .(8分) 因为,所以,即, 解得,所以,(10分) 故. 因为,(12分) 所以关于r的函数在上是单调减函数.故当即(m)时,内圈周长c取得最小值,且最小值为(m).(14分)18.(本题满分16分) 在平面直角坐标系中,设椭圆:的焦距为,且过点.(1)求椭圆的方程;(2)设点是椭圆上横坐标大于2的一点,过点作圆的两条切线分别与 轴交于点,,试确定点的坐标,使得△的面积最大.解:(1)由题意得,,且,(2分) 又, 故,, 所以椭圆的方程为;(5分) (2)设点,其中,且,又设,,不妨, 则直线的方程为:, 则圆心到直线的距离为, 化简得,(8分) 同理,, 所以,为方程的两根, 则,(10分) 又△的面积为, 所以,(12分) 令,记, 则在恒成立, 所以在上单调递增, 故,即时,最大, 此时△的面积最大.(16分)19.(本题满分16分) 已知函数,. (1)若有极值,求a的取值范围;(2)若有经过原点的切线,求a的取值范围及切线的条数,并说明理由.解:(1)易得,(2分) 若,则,从而无极值; 若a > 0,则当时,;时,,此时有极小值. 综上,a的取值范围是.(4分) (2)设P(x0,y0) 是经过原点的切线与函数图象的切点, 则切线方程为,(6分) 因为切线过点(0,0),于是,即, 因为,所以, 设,则,得,(8分)x(0,1)1(1,)+0 -g(x)↗极大值1↘ 故当,即时,不存在切线; 当或,即或a<0时,有且仅有一条切线, 当,即时,存在两条切线,(12分) 下证:对任意的,在(0,1)内一定有一解,其中. 证明在(0,1) 内有一解, 证明在内有一解. 令, 则h(1) m – 10, 这是关于n的二次函数,所以当n充分大时,一定取得正值, 由介值定理知,在内有唯一解,即证.(16分) 20.(本题满分16分)已知数列的通项公式,.设,,…,(其中…,)成等差数列.(1)若. ①当,,为连续正整数时,求的值; ②当时,求证:为定值;(2)求的最大值. 解:(1)①依题意,,,成等差数列,即, 从而, 当为奇数时,解得,不存在这样的正整数; 当为偶数时,解得,所以.(3分) ②依题意,,,成等差数列,即, 从而, 当 均为奇数时,,左边为偶数,故矛盾; 当 均为偶数时,,左边为偶数,故矛盾; 当为偶数,奇数时,,左边为偶数,故矛盾; 当为奇数,偶数时,,即.(8分) (2)设,,()成等差数列,则, 即, 整理得,, 若,则,因为,所以只能为2或4, 所以只能为1或2;(12分) 若,则,, 故矛盾, 综上,只能,,成等差数列或,,成等差数列,其中为奇数, 从而的最大值为3.(16分)试题Ⅱ(附加题)                            21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题,请选定其中两题,并在相应的答题区域内作答.若 多做,则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.ABCDE(第21—A题)A.(几何证明选讲)如图,已知△ABC的内角A的平分线交BC于点D,交其外接圆于点E.求证:ABACADAE.证明:连结EC,易得∠B∠E,(2分) 由题意,∠BAD∠CAE, 所以△ABD∽△AEC,(6分) 从而, 所以ABACADAE.(10分)B.(矩阵与变换) 求矩阵的特征值和特征向量.解:矩阵的特征多项式为,(2分) 令,解得的特征值,.(4分) 将代入二元一次方程组 解得 所以矩阵的属于特征值0的一个特征向量为;(7分) 同理,将代入①解得 所以矩阵的属于特征值1的一个特征向量为.(10分)C.(极坐标与参数方程)在极坐标系中,已知A( 1, ),B( 9, ),线段AB的垂直平分线l与极轴交于点C,求l的极坐标方程及△ABC的面积.解:易得线段AB的中点坐标为(5,),(2分) 设点P(ρ,θ)为直线l上任意一点, 在直角三角形OMP中,ρcos(θ-)=5, 所以,l的极坐标方程为ρcos(θ-)=5,(6分) 令θ=0,得ρ=10,即C(10,0).(8分) 所以,△ABC的面积为:×(9-1)×10×sin=20.(10分)D.(不等式选讲) 已知,,求证:. 证明:因为,,且,(当且仅当时“=”成立) 所以, ① (4分) 又,(当且仅当时“=”成立)② (8分) 由①②得(当且仅当时“=”成立).(10分) 【必做题】第22、23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文(第22题) 字说明、证明过程或演算步骤.22.如图,在正四棱柱中,,. (1)若,求与平面所成角的正弦值; (2)若二面角的大小为,求的值. 解:如图,以点为坐标原点,,,分别 为,,轴,建立空间直角坐标系, (1)当时,,,,, 则,,, 设平面的法向量, 则由得, 不妨取,则,此时,(3分) 故,(第22题) 所以与平面所成角的正弦值为;(5分) (2)由得,,, 设平面的法向量, 则由得, 不妨取,则, 此时,(7分) 又平面的法向量, 故, 解得.(10分) 23.设为给定的不小于3的正整数.数集,记数集的所有元子集的所有元素的和为.(1)求,;(2)求.解:(1)易得数集, 则,(2分) 数集的2元子集中,每个元素均出现次, 故,(4分) (2)易得数集的元子集中,每个元素均出现次, 故,(6分) 所以 .(10分)14
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