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【可编辑】最新湘教版九年级上册数学教案(全册).doc

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可编辑 编辑 最新 湘教版 九年级 上册 数学教案
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第1章 反比例函数1.1 反比例函数教学目标【知识与技能】理解反比例函数的概念,根据实际问题能列出反比例函数关系式.【过程与方法】经历从实际问题抽象出反比例函数的探索过程,发展学生的抽象思维能力.【情感态度】培养观察、推理、分析能力,体会由实际问题转化为数学模型,认识反比例函数的应用价值.【教学重点】理解反比例函数的概念,能根据已知条件写出函数解析式.【教学难点】能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式,体会函数的模型思想.教学过程一、情景导入,初步认知1.复习小学已学过的反比例关系,例如:(1)当路程s一定,时间t与速度v成反比例,即vt=s(s是常数)(2)当矩形面积一定时,长a和宽b成反比例,即ab=S(S是常数)2、电流I、电阻R、电压U之间满足关系式U=IR,当U=220V时,请你用含R的代数式表示I吗?【教学说明】对相关知识的复习,为本节课的学习打下基础.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数的概念(1)一群选手在进行全程为3000米的赛马比赛时,各选手的平均速度v(m/s)与所用时间t(s)之间有怎样的关系?并写出它们之间的关系式.(2)利用(1)的关系式完成下表:(3)随着时间t的变化,平均速度v发生了怎样的变化?(4)平均速度v是所用时间t的函数吗?为什么?(5)观察上述函数解析式,与前面学的一次函数有什么不同?这种函数有什么特点?【归纳结论】一般地,如果两个变量x,y之间可以表示成y=(k为常数且k≠0)的形式,那么称y是x的反比例函数.其中x是自变量,常数k称为反比例函数的比例系数.【教学说明】先让学生进行小组合作交流,再进行全班性的问答或交流.学生用自己的语言说明两个变量间的关系为什么可以看作函数,了解所讨论的函数的表达形式.探究2:反比例函数的自变量的取值范围思考:在上面的问题中,对于反比例函数v=3000/t,其中自变量t可以取哪些值呢?分析:反比例函数的自变量的取值范围是所有非零实数,但是在实际问题中,应该根据具体情况来确定该反比例函数的自变量取值范围.由于t代表的是时间,且时间不能为负数,所有t的取值范围为t>0.【教学说明】教师组织学生讨论,提问学生,师生互动.三、运用新知,深化理解1.见教材P3例题.2.下列函数关系中,哪些是反比例函数?(1)已知平行四边形的面积是12cm2,它的一边是acm,这边上的高是hcm,则a与h的函数关系;(2)压强p一定时,压力F与受力面积S的关系;(3)功是常数W时,力F与物体在力的方向上通过的距离s的函数关系.(4)某乡粮食总产量为m吨,那么该乡每人平均拥有粮食y(吨)与该乡人口数x的函数关系式.分析:确定函数是否为反比例函数,就是看它们的解析式经过整理后是否符合y= (k是常数,k≠0).所以此题必须先写出函数解析式,后解答.解:(1)a=12/h,是反比例函数;(2)F=pS,是正比例函数;(3)F=W/s,是反比例函数;(4)y=m/x,是反比例函数.3.当m为何值时,函数y=是反比例函数,并求出其函数解析式.分析:由反比例函数的定义易求出m的值.解:由反比例函数的定义可知:2m-2=1,m=3/2.所以反比例函数的解析式为y=.4.当质量一定时,二氧化碳的体积V与密度ρ成反比例.且V=5m3时,ρ=1.98kg/m3(1)求p与V的函数关系式,并指出自变量的取值范围.(2)求V=9m3时,二氧化碳的密度.解:略5.已知y=y1+y2,y1与x成正比例,y2与x2成反比例,且x=2与x=3时,y的值都等于19.求y与x间的函数关系式.分析:y1与x成正比例,则y1=k1x,y2与x2成反比例,则y2=k2x2,又由y=y1+y2,可知,y=k1x+k2x2,只要求出k1和k2即可求出y与x间的函数关系式.解:因为y1与x成正比例,所以y1=k1x;因为y2与x2成反比例,所以y2= ,而y=y1+y2,所以y=k1x+ ,当x=2与x=3时,y的值都等于19.【教学说明】加深对反比例函数概念的理解,及掌握如何求反比例函数的解析式.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.1”中第1、3、5题.教学反思学生对于反比例函数的概念理解的都很好,但在求函数解析式时,解题不够灵活,如解答第5题时,不知如何设未知数.在这方面应多加练习.1.2 反比例函数的图象与性质第1课时 反比例函数的图象与性质(1)教学目标【知识与技能】1.会用描点法画反比例函数图象;2.理解反比例函数的性质.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】通过对反比例函数的图象的分析,探索并掌握反比例函数的图象的性质.【教学重点】画反比例函数的图象,理解反比例函数的性质.【教学难点】理解反比例函数的性质,并能灵活应用.教学过程一、情景导入,初步认知你还记得一次函数的图象吗?一次函数的图象怎样画呢?一次函数有什么性质呢?反比例函数的图象又会是什么样子呢?【教学说明】在回忆与交流中,进一步认识函数,图象的直观有助于理解函数的性质.二、思考探究,获取新知探究1:反比例函数图象的画法画出反比例函数y=的图象.分析∶画出函数图象一般分为列表、描点、连线三个步骤.(1)列表:取自变量x的哪些值?x是不为零的任何实数,所以不能取x的值为零,但仍可以以零为基准,左右均匀,对称地取值.(2)描点:用表里各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点(-6,-1)、(-3,-2)、(-2,-3)等.(3)连线:用平滑的曲线将第一象限各点依次连起来,得到图象的第一个分支;用平滑的曲线将第三象限各点依次连起来,得到图象的另一个分支.这两个分支合起来,就是反比例函数的图象.思考:(1)观察上图,y轴右边的各点,当横坐标x逐渐增大时,纵坐标y如何变化?y轴左边的各点是否也有相同的规律?(2)这两条曲线会与x轴、y轴相交吗?为什么?探究2:反比例函数所在的象限画出函数y=的图形,并思考下列问题:(1)函数图形的两个分支分别位于哪些象限?(2)在每一象限内,函数值y随自变量x的变化是如何变化的?【归纳结论】一般地,当k>0时,反比例函数y=的图象由分别在第一、三象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小.探究3:反比例函数y=-的图象.可以引导学生采用多种方式进行自主探索活动:(1)可以用画反比例函数y=-的图象的方式与步骤进行自主探索其图象;(2)可以通过探索函数y=与y=-之间的关系,画出y=-的图象.【归纳结论】一般地,当k<0时,反比例函数y=的图象由分别在第二、四象限内的两支曲线组成,它们与x轴、y轴都不相交,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大.探究4:反比例函数的性质反比例函数y=-与y=的图象有什么共同特征?【教学说明】引导学生从通过与一次函数的图象的对比感受反比例函数图象“曲线”及“两支”的特征.【归纳结论】反比例函数y= (k≠0)的图象是由两个分支组成的曲线.当k>0时,图象在一、三象限;当k<0时,图象在二、四象限.反比例函数y=与y=- (k≠0)的图象关于x轴或y轴对称.【教学说明】学生动手画反比函数图象,进一步掌握画函数图象的步骤.观察函数图象,掌握反比例函数的性质.三、运用新知,深化理解1.教材P9例1.2.如果函数y=2xk+1的图象是双曲线,那么k= .【答案】 -23.如果反比例函数y=的图象位于第二、四象限内,那么满足条件的正整数k的值是 .【答案】 1,24.已知直线y=kx+b的图象经过第一、二、四象限,则函数y=的图象在第象限.【答案】 二、四5.反比例函数y=的图象大致是图中的( ).解析:因为k=1>0,所以双曲线的两支分别位于第一、三象限.【答案】 C6.下列反比例函数图象一定在第一、三象限的是( )【答案】 C7.已知函数为反比例函数.(1)求m的值;(2)它的图象在第几象限内?在各象限内,y随x的增大如何变化?(3)当-3≤x≤-时,求此函数的最大值和最小值.8.作出反比例函数y=的图象,并根据图象解答下列问题:(1)当x=4时,求y的值;(2)当y=-2时,求x的值;(3)当y>2时,求x的范围.解:列表:由图知:(1)y=3;(2)x=-6;(3)0<x<69.作出反比例函数y=-的图象,结合图象回答:(1)当x=2时,y的值;(2)当1<x≤4时,y的取值范围;(3)当1≤y<4时,x的取值范围.解:列表:由图知:(1)y=-2;(2)-4<y≤-1;(3)-4≤x<-1.【教学说明】为了让学生灵活的用反比例函数的性质解决问题,在研究每一题时,要紧扣性质进行分析,达到理解性质的目的.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业∶教材“习题1.2”中第1、2、4题.教学反思通过本节课的学习使学生理解了反比例函数的意义和性质,并掌握了用描点法画函数图象的方法.同时也为后面的学习奠定基础.从练习上来看,学生掌握的不够好,应多加练习.第2课时 反比例函数的图象与性质(2)教学目标【知识与技能】1.会求反比例函数的解析式;2.巩固反比例函数图象和性质,通过对图象的分析,进一步探究反比例函数的增减性.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.【情感态度】提高学生的观察、分析能力和对图形的感知水平.【教学重点】会求反比例函数的解析式.【教学难点】反比例函数图象和性质的运用.教学过程一、情景导入,初步认知1.反比例函数有哪些性质?2.我们学会了根据函数解析式画函数图象,那么你能根据一些条件求反比例函数的解析式吗?【教学说明】复习上节课的内容,同时引入新课.二、思考探究,获取新知1.思考:已知反比例函数y=的图象经过点P(2,4)(1)求k的值,并写出该函数的表达式;(2)判断点A(-2,-4),B(3,5)是否在这个函数的图象上;(3)这个函数的图象位于哪些象限?在每个象限内,函数值y随自变量x的增大如何变化?分析:(1)题中已知图象经过点P(2,4),即表明把P点坐标代入解析式成立,这样能求出k,解析式也就确定了.(2)要判断A、B是否在这条函数图象上,就是把A、B的坐标代入函数解析式中,如能使解析式成立,则这个点就在函数图象上.否则不在.(3)根据k的正负性,利用反比例函数的性质来判定函数图象所在的象限、y随x的值的变化情况.【归纳结论】这种求解析式的方法叫做待定系数法求解析式.2.下图是反比例函数y=的图象,根据图象,回答下列问题:(1)k的取值范围是k>0还是k<0?说明理由;(2)如果点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点,试比较y1,y2的大小.分析:(1)由图象可知,反比例函数y=kx的图象的两支曲线分别位于第一、三象限内,在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而减小,因此,k>0.(2)因为点A(-3,y1),B(-2,y2)是该函数图象上的两点且-3<0,-2<0.所以点A、B都位于第三象限,又因为-3<-2,由反比例函数的图像的性质可知:y1>y2.【教学说明】通过观察图象,使学生掌握利用函数图象比较函数值大小的方法.三、运用新知,深化理解1.若点A(7,y1),B(5,y2)在双曲线y=-上,则y1、y2中较小的是 .【答案】 y22.已知点A(x1,y1),B(x2,y2)是反比例函数y= (k>0)的图象上的两点,若x1<0<x2,则有( ).A.y1<0<y2 B.y2<0<y1 C.y1<y2<0 D.y2<y1<0【答案】 A3.若A(a1,b1),B(a2,b2)是反比例函数图象上的两个点,且a1<a2,则b1与b2的大小关系是( )A.b1<b2 B.b1=b2 C.b1>b2 D.大小不确定【答案】 D4.函数y=-的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若0<x1<x2,则( )A.y1<y2 B.y1>y2 C.y1=y2 D.y1、y2的大小不确定【答案】 A5.已知点P(2,2)在反比例函数y= (k≠0)的图象上,(1)当x=-3时,求y的值;(2)当1<x<3时,求y的取值范围.6.已知y= (k≠0,k为常数)过三个点A(2,-8),B(4,b),C(a,2).(1)求反比例函数的表达式;(2)求a与b的值.解:(1)将A(2,-8)代入反比例解析式得:k=-16,则反比例解析式为y=-;(2)将B(4,b)代入反比例解析式得:b=-4;将C(a,2)代入反比例解析式得:2=-,即a=-8.7.已知反比例函数的图象过点(1,-2).(1)求这个函数的解析式,并画出图象;(2)若点A(-5,m)在图象上,则点A关于两坐标轴和原点的对称点是否还在图象上?分析:(1)反比例函数的图象过点(1,-2),即当x=1时,y=-2.由待定系数法可求出反比例函数解析式;再根据解析式,通过列表、描点、连线可画出反比例函数的图象;(2)由点A在反比例函数的图象上,易求出m的值,再验证点A关于两坐标轴和原点的对称点是否在图象上.解:(1)设:反比例函数的解析式为:y= (k≠0).而反比例函数的图象过点(1,-2),即当x=1时,y=-2.所以-2=,k=-2.即反比例函数的解析式为:y=-.(2)点A(-5,m)在反比例函数y=-图象上,所以m= = ,点A的坐标为(-5, ).点A关于x轴的对称点(-5,-)不在这个图象上;点A关于y轴的对称点(5, )不在这个图象上;点A关于原点的对称点(5,-)在这个图象上;【教学说明】通过练习,巩固本节课数学内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第7题.教学反思教学中,我深深地体会到:要想让学生真正掌握求函数解析式的方法,教师应在给出相应的典型例题的条件下,让学生自己去寻找答案,自己去发现规律.最后,教师清楚地向学生总结每一种函数解析式的适用范围,以及一般应告知的条件.在信息社会飞速发展的今天,教师要从以前的教师教、学生学的观念中解放出来,教会学生如何学,让学生自己去探究,自己去学习,去获取知识.在《中学数学课程标准》中明确规定:教师不仅是学生的引导者,也是学生的合作者.教学中,要让学生通过自主讨论、交流,来探究学习中碰到的问题、难题,教师从中点拨、引导,并和学生一起学习,探讨,才能真正做到教学相长,也才能真正让每一个学生都学有所获.第3课时 反比例函数的图象与性质(3)教学目标【知识与技能】1.综合运用一次函数和反比例函数的知识解决有关问题;2.借助一次函数和反比例函数的图象解决某些简单的实际问题.【过程与方法】经历观察、分析、交流的过程,逐步提高运用知识的能力.【情感态度】能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题,培养学生看图(象)、识图(象)能力、体会用“数、形”结合思想解答函数题.【教学重点】理解并掌握一次函数,反比例函数的图象和性质,并能利用它们解决一些综合问题.【教学难点】学会从图象上分析、解决问题,理解反比例函数的性质.教学过程一、情景导入,初步认知1.正比例函数有哪些性质?2.一次函数有哪些性质?3.反比例函数有哪些性质?【教学说明】对所学的三种函数的性质教学复习,让学生对它们的性质有系统的了解.二、思考探究,获取新知1.已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于P(-3,4),试求出它们的表达式,并在同一坐标系内画出这两个函数的图象.解:设正比例函数,反比例函数的表达式分别为y=k1x,y= ,其中,k1,k2是常数,且均不为0.由于这两个函数的图象交于P(-3,4),则P(-3,4)是这两个函数图象上的点,即点P的坐标分别满足这两个表达式.因此,4=k1×(-3),4=解得,k1= k2=-12所以,正比例函数解析式为y=x,反比例函数解析式为y=-.函数图象如下图.【教学说明】通过图象,让学生掌握一次函数与反比例函数的综合应用.2.在反比例函数y=的图象上取两点P(1,6),Q(6,1),过点P分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1= ;过点Q分别作x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S2= ;S1与S2有什么关系?为什么?【归纳结论】反比例函数y=(k≠0)中比例系数k的几何意义:过双曲线y=(k≠0)上任意一点引x轴、y轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为k的绝对值.【教学说明】引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质,同时鼓励学生用自己的语言进行表述,从而提高学生的表达能力与数学语言的组织能力.三、运用新知,深化理解1.已知如图,A是反比例函数y=kx的图象上的一点,AB丄x轴于点B,且△ABO的面积是3,则k的值是( )A.3 B.-3 C.6 D.-6分析:过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,即S=|k|. 解:根据题意可知:S△AOB=|k|=3,又反比例函数的图象位于第一象限,k>0,则k=6.【答案】 C2.反比例函数y=与y=在第一象限的图象如图所示,作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点,连接OA、OB,则△AOB的面积为( )A. B.2 C.3 D.1分析:分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BC⊥y轴,点C为垂足,再根据反比例函数系数k的几何意义分别求出四边形OEAC、△AOE、△BOC的面积,进而可得出结论.解:分别过A、B作x轴的垂线,垂足分别为D、E,过B作BC⊥y轴,点C为垂足,∵由反比例函数系数k的几何意义可知,S四边形OEAC=6,S△AOE=3,S△BOC=1,∴S△AOB=S四边形OEAC-S△AOE-S△BOC=6-3-1=2.【答案】 B3.已知直线y=x+b经过点A(3,0),并与双曲线y=的交点为B(-2,m)和C,求k、b的值.解:点A(3,0)在直线y=x+b上,所以0=3+b,b=-3.一次函数的解析式为:y=x-3.又因为点B(-2,m)也在直线y=x-3上,所以m=-2-3=-5,即B(-2,-5).而点B(-2,-5)又在反比例函数y=上,所以k=-2×(-5)=10.4.已知反比例函数y=的图象与一次函数y=k2x-1的图象交于A(2,1).(1)分别求出这两个函数的解析式;(2)试判断A点关于坐标原点的对称点与两个函数图象的关系.分析:(1)因为点A在反比例函数和一次函数的图象上,把A点的坐标代入这两个解析式即可求出k1、k2的值.(2)把点A关于坐标原点的对称点A′坐标代入一次函数和反比例函数解析式中,可知A′是否在这两个函数图象上.解:(1)因为点A(2,1)在反比例函数和一次函数的图象上,所以k1=2×1=2.1=2k2-1,k2=1.所以反比例函数的解析式为:y=;一次函数解析式为:y=x-1.(2)点A(2,1)关于坐标原点的对称点是A′(-2,-1).把A′点的横坐标代入反比例函数解析式得,y==-1,所以点A在反比例函数图象上.把A′点的横坐标代入一次函数解析式得,y=-2-1=-3,所以点A′不在一次函数图象上.5.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,1)和点B(a,-3a),a<0,且点B在反比例函数的y=-的图象上.(1)求a的值.(2)求一次函数的解析式,并画出它的图象.(3)利用画出的图象,求当这个一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的取值范围.(4)如果P(m,y1)、Q(m+1,y2)是这个一次函数图象上的两点,试比较y1与y2的大小.分析:(1)由于点A、点B在一次函数图象上,点B在反比例函数图象上,把这些点的坐标代入相应的函数解析式中,可求出k、b和a的值.(2)由 (1)求出的k、b、a的值,求出函数的解析式,通过列表、描点、连线画出函数图象.(3)和 (4)都是利用函数的图象进行解题.一次函数和反比例函数的图象为:(3)从图象上可知,当一次函数y的值在-1≤y≤3范围内时,相应的x的值为:-1≤x≤1.(4)从图象可知,y随x的增大而减小,又m+1>m,所以y1>y2.或解:当x1=m时,y1=-2m+1;当x2=m+1时,y2=-2×(m+1)+1=-2m-1所以y1-y2=(-2m+1)-(-2m-1)=2>0,即y1>y2.6.如图,一次函数y=kx+b的图象与反比例函数y=的图象交于A、B两点.(1)利用图象中的条件,求反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出使一次函数的值大于反比例函数值的x的取值范围.分析:(1)把A、B两点坐标代入两解析式,即可求得一次函数和反比例函数解析式.(2)因为图象上每一点的纵坐标与函数值是相对应的,一次函数值大于反比例函数值,反映在图象上,自变量取相同的值时,一次函数图象上点的纵坐标大于反比例函数图象上点的纵坐标. 【教学说明】检测题采取多种形式呈现,增加了灵活性,以基础题为主,也有少量综合问题,可使不同层次水平的学生均有机会获得成功的体验.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.2”中第6题.通过本节课的学习,发现了一些问题,因此必须强调:教学反思1.综合运用一次函数和反比例函数求解两种函数解析式,往往用待定系数法.2.观察图象,把图象中提供、展现的信息转化为与两函数有关的知识来解题.1.3反比例函数的应用教学目标【知识与技能】经历通过实验获得数据,然后根据数据建立反比例函数模型的一般过程,体会建模思想.【过程与方法】观察、比较、合作、交流、探索.【情感态度】体验数形结合的思想.【教学重点】建立反比例函数的模型,进而解决实际问题.【教学难点】经历探索的过程,培养学生学习数学的主动性和解决问题的能力.教学过程一、情景导入,初步认知复习回顾1.什么是反比例函数?2.反比例函数的图象是什么?3.反比例函数图象有哪些性质?4.反比例函数的图象对称性如何?【教学说明】通过提出问题,引发学生思考,培养学生解决问题的能力.二、思考探究,获取新知1.某校科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地,为了安全、迅速通过这片湿地,他们沿着前进路线铺垫了若干块木板,构筑成一条临时通道,从而顺利完成了任务.你能解释他们这样做的道理吗?(1)根据压力F(N)、压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系式p=,请你判断:当F一定时,p是S的反比例函数吗?(2)如人对地面的压力F=450N,完成下表:(3)当F=450N时,试画出该函数的图象,并结合图象分析当受力面积S增大时,地面所受压强p是如何变化的,据此,请说出它们铺垫木板通过湿地的道理.解:(1)对于p=,当F一定时,根据反比例函数的定义可知,p是S的反比例函数.(2)因为F=450N,所以当S=0.005m2时,由p=得:p=450/0.005=90000(Pa)类似的,当S=0.01m2时,p=45000Pa;当S=0.02m2时,p=22500Pa;当S=0.04m2时,p=11250Pa(3)当F=450N时,该反比例函数的表达式为p=450/S,它的图象如下图所示,由图象的性质可知,当受力面积S增大时,地面所受压强p会越来越小,因此,该科技小组通过铺垫木板的方法来增大受力面积.以减小地面所受压强,从而可以顺利地通过湿地.2.你能根据玻意耳定律(在温度不变的情况下,气体的压强p与它的体积V的乘积是一个常数K(K>0),即pV=K)来解释:为什么使劲踩气球时,气体会爆炸?【教学说明】逐步提高学生从函数图象中获取信息的能力,提高感知水平;此外,在解决实际问题时,要引导学生体会知识之间的联系及知识的综合运用.三、运用新知,深化理解1.教材P15例题.2.一个水池装水12m3,如果从水管中每小时流出xm3的水,经过yh可以把水放完,那么y与x的函数关系式是 ,自变量x的取值范围是 .【答案】y=;x>03.若梯形的下底长为x,上底长为下底长的,高为y,面积为60,则y与x的函数关系是 (不考虑x的取值范围).【答案】y=4.某一数学课外兴趣小组的同学每人制作一个面积为200cm2的矩形学具进行展示.设矩形的宽为xcm,长为ycm,那么这些同学所制作的矩形的长y(cm)与宽x(cm)之间的函数关系的图象大致是( )【答案】A5.下列各问题中两个变量之间的关系,不是反比例函数的是( )A.小明完成百米赛跑时,所用时间t(s)与他的平均速度v(m/s)之间的关系B.长方形的面积为24,它的长y与宽x之间的关系C.压力为600N时,压强p(Pa)与受力面积S(m2)之间的关系D.一个容积为25L的容器中,所盛水的质量m(kg)与所盛水的体积V(L)之间的关系【答案】D6.在温度不变的条件下,通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压,测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强,如下表:则可以反映y与x之间的关系的式子是( ).A.y=3000x B.y=6000x C.y= D.y=【答案】D7.一张正方形的纸片,剪去两个一样的小矩形得到一个“E”图案,如图所示,设小矩形的长和宽分别为x、y,剪去部分的面积为20,若2≤x≤10,则y与x的函数图象是( )【答案】A8.一个长方体的体积是100cm3,它的长是y(cm),宽是5cm,高是x(cm).(1)写出长y(cm)关于高x(cm)的函数关系式,以及自变量x的取值范围;(2)画出(1)中函数的图象;(3)当高是3cm时,求长.解:(1)y= (x>0);(2)图象略;(3)长为 cm.【教学说明】用函数观点来处理实际问题的应用,加深对函数的认识.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题1.3”中第1、2、4题.教学反思本节课通过学生自主探索,合作交流,以认知规律为主线,以发展能力为目标,以从直观感受到分析归纳为手段,培养学生的合情推理能力和积极的情感态度,促进良好的数学观的形成.在教学手段上,本节课大量使用多媒体辅助教学,既能体现知识的背景材料,又能一下子引起学生的注意力,有效地节省了时间,增大了课堂容量.生动形象的动画演示,动感强,直观性好,既加深了学生的理解,又培养了学生的抽象思维能力,同时也向学生渗透了归纳类比,数形结合的数学思想方法.第2章 一元二次方程2.1一元二次方程教学目标【知识与技能】探索一元二次方程及其相关概念,能够辨别各项系数;能够从实际问题中抽象出方程知识.【过程与方法】在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型,体会方程与实际生活的联系.【情感态度】通过用一元二次方程解决身边的问题,体会数学知识应用的价值,提高学生学习数学的兴趣,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.【教学重点】一元二次方程的概念.【教学难点】如何把实际问题转化为数学方程.教学过程一、情景导入,初步认知问题1:已知一矩形的长为200cm,宽150cm.在它的中间挖一个圆,使剩余部分的面积为原矩形面积的34,求挖去的圆的半径xcm应满足的方程.(π取3)问题2:据某市交通部门统计,前年该市汽车拥有量为75万辆,两年后增加到108万辆,求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率x应满足的方程.你能列出相应的方程吗?【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境,又是本课一种很自然的引入,为本课的探究活动做好铺垫.二、思考探究,获取新知1.对于问题1:找等量关系:矩形的面积—圆的面积=矩形的面积×3/4列出方程:200×150-3x2=200×150×3/4 ①对于问题2:等量关系:两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量×(1+年平均增长率)2列出方程:75(1+x)2=1082 ②2.能把①,②化成右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗?让学生展开讨论,并引导学生把①,②化成下列形式:①化简,整理得x2-2500=0 ③②化简,整理得25x2+50x-11=0 ④3.讨论:方程③、④中的未知数的个数和次数各是多少?【教学说明】分组合作、小组讨论,经过讨论后交流小组的结论,可以发现上述方程都不是所学过的方程,特点是两边都是整式,且整式的最高次数是2次.【归纳结论】如果一个方程通过移项可以使右边为0,而左边是只含有一个未知数的二次多项式,那么这样的方程叫作一元二次方程,它的一般形式是:ax2+bx+c=0,(a,b,c是常数且a≠0),其中a,b,c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.4.让学生指出方程③,④中的二次项系数、一次项系数和常数项.【教学说明】让学生充分感受所列方程的特点,再通过类比的方法得到定义,从而达到真正理解定义的目的.三、运用新知,深化理解1.见教材P27例题.2.下列方程是一元二次方程的有.【答案】 (5)3.已知(m+3)x2-3mx-1=0是一元二方程,则m的取值范围是_____.分析 :一元二次方程二次项的系数不等于零.故m≠-3.【答案】 m≠-34.把方程(1-3x)(x+3)=2x2+1化为一元二次方程的一般形式,并写出二次项,二次项系数,一次项,一次项系数及常数项.解 :原方程化为一般形式是:5x2+8x-2=0(若写成-5x2-8x+2=0,则不符合人们的习惯),其中二次项是5x2,二次项系数是5,一次项是8x,一次项系数是8,常数项是-2(因为一元二次方程的一般形式是三个单项式的和,所以不能漏写单项式系数的负号).5.关于x方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程,m应满足什么条件?分析 :先把这个方程变为一般形式,只要二次项的系数不为0即可.解 :由mx2-3x=x2-mx+2得到(m-1)x2+(m-3)x-2=0,所以m-1≠0,即m≠1.所以关于x的方程mx2-3x=x2-mx+2是一元二次方程,m应满足m≠1.6.一元二次方程(x+1)2-x=3(x2-2)化成一般形式是.分析: 一元二次方程一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0),对照一般形式可先去括号,再移项,合并同类项,得2x2-x-7=0.【答案】 2x2-x-7=07.把方程-5x2+6x+3=0的二次项系数化为1,方程可变为( )A.x2+6/5x+3/5=0 B.x2-6x-3=0C.x2-6/5x-3/5=0 D.x2-6/5x+3/5=0【答案】 C注意方程两边除以-5,另两项的符号同时发生变化.8.已知方程(m+2)x2+(m+1)x-m=0,当m满足______时,它是一元一次方程;当m满足______时,它是二元一次方程.分析: 当m+2=0,m=-2时,方程是一元一次方程;当m+2≠0,m≠-2时,方程是二元一次方程.【答案】 m=-2m≠-29.某型号的手机连续两次降价,每个售价由原来的1185元降到了580元,设平均每次降价的百分率为x,则列出方程为____________【答案】 1185(1-x)2=58010.当常数a,b,c满足什么条件时,方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当常数a,b,c满足什么条件时,方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程?解:当a≠1时是一元二次方程,这时方程的二次项系数是a-1,一次项系数是-b;当a=1,b≠0时是一元一次方程.【教学说明】这组练习目的在于巩固学生对一元二次方程定义中几个特征的理解.进一步巩固学生对一元二次方程的基本概念.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题2.1”中第1、2、6题.教学反思本节课是一元二次方程的第一课时,通过对本节课的学习,学生将掌握一元二次方程的定义、一般形式、及有关概念,并学会利用方程解决实际问题.在教学过程中,注重重难点的体现.本节课内容对于学生整个中学阶段的数学学习有着重大的意义,能否学好关系到日后学习的成败,因此必须要让学生吃透内容并且要真正能消化.2.2一元二次方程的解法2.2.1配方法教学目标【知识与技能】1.知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程.2.学会用直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程.3.理解“配方”是一种常用的数学方法,在用配方法将一元二次方程变形的过程中,让学生进一步体会化归的思想方法.【过程与方法】通过探索配方法的过程,让学生体会转化的数学思想方法.【情感态度】学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦,并体验数学的价值,增强学生学习数学的兴趣.【教学重点】运用配方法解一元二次方程.【教学难点】把一元二次方程转化为形如(x+n)2=d(d≥0)的过程.教学过程一、情景导入,初步认知1.根据完全平方公式填空:(1)x2+6x+9=( )2(2)x2-8x+16=( )2(3)x2+10x+( )2=( )2(4)x2-3x+( )2=( )22.前面我们已经学了一元一次方程和二元一次方程组的解法,解二元一次方程组的基本思路是什么?(消元、化二元一次方程组为一元一次方程).由解二元一次方程组的基本思路,你能想出解一元二次方程的基本思路吗?3.你会解方程x2+6x-16=0吗?你会将它变成(x+m)2=n(n为非负数)的形式吗?试试看.如果是方程2x2+1=3x呢?【教学说明】学会利用完全平方知识填空,初步配方为后面学习打下基础.二、思考探究,获取新知1.解方程:x2-2500=0.问:怎样将这个方程“降次”为一元一次方程?把方程写成x2=2500这表明x是2500的平方根,根据平方根的意义,得x=或x=-因此,原方程的解为x1=50,x2=-50【归纳结论】一元二次方程的解也是一元二次方程的根.2.解方程(2x+1)2=2解:根据平方根的有意义,得2x+1=或2x+1=-因此,原方程的根为x1=,x2=3.通过上面的两个例题,你知道什么时候用开平方的方法来解一元二次方程呢?【归纳结论】对于形如(x+n)2=d(d≥0)的方程,可直接用开平方法解.直接开平方法的步骤是:把方程变形成(x+n)2=d (d≥0),然后直接开平方得x+n=和x+n=-,分别解这两个一元一次方程,得到的解就是原一元二次方程的解.4.解方程x2+4x=12我们已知,如果把方程x2+4x=12写成(x+n)2=d的形式,那么就可以根据平方根的意义来求解.那么,如何将左边写成(x+n)2的形式呢?我们学过完全平方式,你能否将左边x2+4x添上一项使它成为一个完全平方式.请相互交流.写出解题过程.【归纳结论】一般地,像上面这样,在方程x2+4x=12的左边加上一次项系数的一半的平方,在减去这个数,使得含未知数的项在一个完全平方式里,这种做法叫作配方.配方、整理后就可以直接根据平方根的意义来求解了.这种解一元二次方程的方法叫作配方法.5.如何用配方法解方程25x2+50x-11=0呢?如果二次项系数为1,那就好办了!那么怎样将二次项的系数化为1呢?同伴之间可以相互交流.试着写出解题过程.6.通过上面配方法解一元二次方程的过程,你能总结用配方法解一元二次方程的步骤吗?【归纳结论】用配方法解一元二次方程的步骤:(1)把方程化为一般形式ax2+bx+c=0;(2)把方程的常数项通过移项移到方程的右边;(3)若方程的二次项系数不为1时,方程两边同时除以二次项系数a;(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(5)此时方程的左边是一个完全平方式,然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解.【教学说明】通过这一过程,学生发现能用直接开平方法求解的方程都可以转化成一般形式,一般形式的方程也能用配方法转化为可以直接开平方的形式,所以总结出解一元二次方程的基本思路是将一元二次方程转化为(x+n)2=d(d≥0)的形式.三、运用新知,深化理解1.见教材P33例3、P34例4.2.列方程(注:学生练习,教师巡视,适当辅导.)(1)x2-10x+24=0;(2)(2x-1)(x+3)=5;(3)3x2-6x+4=0.解:(1)移项,得x2-10x=-24配方,得x2-10x+25=-24+25,由此可得(x-5)2=1,x-5=±1,∴x1=6,x2=4.(2)整理,得2x2+5x-8=0.移项,得2x2+5x=8二次项系数化为1得x2+5/2x=4,配方,得x2+5/2x+(5/4)2=4+(5/4)2(x+5/4)2=89/16,由此可得x+5/4=±/4,x1= ,x2=.(3)移项,得3x2-6x=-4二次项系数化为1,得x2-2x=-4/3,配方,得x2-2x+12=-4/3+12,(x-1)2=-1/3因为实数的平方不会是负数,所以x取任何实数时,(x-1)2都是非负数,上式都不成立,即原方程无实数根.3.解方程x2-8x+1=0分析:显然这个方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式.解:x2-8x+1=0移项得:x2-8x=-1配方得:x2-8x+16=-1+16即(x-4)2=15两边开平方得:x-4=±∴x1=4+,x2=4-.4.用配方法将下列各式化为a(x+h)2+k的形式.(1)-3x2-6x+1;(2)2/3y2+1/3y+2;(3)0.4x2-0.8x-1.解:(1)-3x2-6x+1=-3(x2+2x-1/3)=-3(x2+2x+12-12-1/3)=-3[(x+1)2-4/3]=-3(x+1)2+4(2)2/3y2+1/3y-2=2/3(y2+1/2y-3)=2/3[y2+1/2y+(1/4)2-(1/4)2-3]=2/3[(y+1/4)2-49/16]=2/3(y+1/4)2-49/24.(3)0.4x2-0.8x-1=0.4(x2-2x-2.5)=0.4[(x2-2x+12)-12-2.5]=0.4(x-1)2-1.4【教学说明】通过练习,使学生能灵活运用“配方法”,并强化学生对一元二次方程解的认识.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题2.2”中第1、2、3题.教学反思在教学过程中,坚持由简单到复杂,由特殊到一般的原则,采用了观察对比,合作探究等不同的学习方式,充分发挥学生的主体作用,让学生主动探究发现结论,教师做学生学习的引导者,合作者,促进者,要适时鼓励学生,实现师生互动.同时,我认识到教师不仅仅要教给学生知识,更要在教学中渗透数学中的思想方法,培养学生良好的数学素养和学习能力,让学生学会学习.2.2.2公式法教学目标【知识与技能】1.经历推导求根公式的过程,加强推理技能的训练.2.会用公式法解简单系数的一元二次方程.【过程与方法】通过由配方法推导求根公式,培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想.【情感态度】让学生体验到所有一元二次方程都能运用公式法去解,形成全面解决问题的积极情感,感受公式的对称美、简洁美,产生热爱数学的情感.【教学重点】求根公式的推导和公式法的应用.【教学难点】理解求根公式的推导过程.教学过程一、情景导入,初步认知1.用配方法解方程:(1)x2+3x+2=0;(2)2x2-3x+5=0.2.由用配方法解一元二次方程的基本步骤知:对于每个具体的一元二次方程,都使用了相同的一些计算步骤,这启发我们思考,能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)使用这些步骤,然后求出解x的公式?【教学说明】这样做了以后,我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解,取得一通百通的效果.二、思考探究,获取新知1.用配方法解方程:ax2+bx+c=0(a≠0)分析:前面具体数字已做了很多,我们现在不妨把a、b、c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去.解:移项,得:ax2+bx=-c【归纳结论】由上可知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定,因此:(1)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2+bx+c=0,当b2-4ac≥0时,将a、b、c代入式子就可求出方程的根.(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式.(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法.【强调】用公式法解一元二次方程时,必须注意两点:(1)将a、b、c的值代入公式时,一定要注意符号不能出错.(2)式子b2-4ac≥0是公式的一部分.【教学说明】让学生思考对于一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)能否用配方法求出它的解?通过解方程发现归纳一元二次方程的求根公式.2.展示课本P36例5(1),(2),按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程,并提醒学生在确定a,b,c的值时,先要将一元二次方程式化为一般形式,注意a,b,c的符号.3.引导学生完成P37例6.4.你能总结出用公式法解一元二次方程的一般步骤吗?【归纳结论】首先要把原方程化为一般形式,从而正确地确定a,b,c的值;其次要计算b2-4ac的值,当b2-4ac≥0时,再用求根公式求解.三、运用新知,深化理解1.用公式法解下列方程.2x2+3=7x分析:用公式法解一元二次方程,需先确定a、b、c的值、再算出b2-4ac的值、最后代入求根公式求解.解:2x2-7x+3=0a=2,b=-7,c=3∵b2-4ac=(-7)2-4×2×3=25>02.某数学兴趣小组对关于x的方程(m+1)xm2+1+(m-2)x-1=0提出了下列问题.(1)若使方程为一元二次方程,m是否存在?若存在,求出m并解此方程.(2)若使方程为一元一次方程m是否存在?若存在,请求出.你能解决这个问题吗?分析:(1)要使它为一元二次方程,必须满足m2+1=2,同时还要满足(m+1)≠0.(2)要使它为一元一次方程,必须满足∶解:(1)存在.根据题意,得:m2+1=2m2=1m=±1当m=1时,m+1=1+1=2≠0当m=-1时,m+1=-1+1=0(不合题意,舍去)∴当m=1时,方程为2x2-1-x=0a=2,b=-1,c=-1b2-4ac=(-1)2-4×2×(-1)=1+8=9因此,该方程是一元二次方程时,m=1,两根x1=1,x2=-12.(2)存在.根据题意,得:①m2+1=1,m2=0,m=0因为当m=0时,(m+1)+(m-2)=2m-1=-1≠0所以m=0满足题意.②当m2+1=0,m不存在.③当m+1=0,即m=-1时,m-2=-3≠0所以m=-1也满足题意.当m=0时,一元一次方程是x-2x-1=0,解得:x=-1当m=-1时,一元一次方程是-3x-1=0解得x=-1/3因此,当m=0或-1时,该方程是一元一次方程,并且当m=0时,其根为x=-1;当m=-1时,其一元一次方程的根为x=-1/3.【教学说明】主体探究、探究利用公式法解一元二次方程的一般方法,进一步理解求根公式.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题2.2”中第4题.教学反思通过复习配方法使学生会对一元二次方程的定义及解法有一个熟悉的印象.然后让学生用配方法推导一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)的解,并掌握利用根的判别式判断一元二次方程根的情况.使学生的推理能力得到加强.2.2.3因式分解法教学目标【知识与技能】能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程.能够根据一元二次方程的结构特点,灵活择其简单的方法.【过程与方法】通过比较、分析、综合,培养学生分析问题解决问题的能力.【情感态度】通过知识之间的相互联系,培养学生用联系和发展的眼光分析问题,解决问题,树立转化的思想方法.【教学重点】用因式分解法一元二次方程.【教学难点】理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.教学过程一、情景导入,初步认知复习:将下列各式分解因式(1)5x2-4x(2)x2-4x+4(3)4x(x-1)-2+2x(4)x2-4(5)(2x-1)2-x2【教学说明】通过复习相关知识,有利于学生熟练正确将多项式因式分解,从而有利降低本节的难度.二、思考探究,获取新知1.解方程x2-3x=0可用因式分解法求解方程左边提取公因式x,得x(x-3)=0由此得x=0或x-3=0即x1=0,x2=3与公式法相比,哪种更简单?【归纳结论】利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法.2.用因式分解法解下列方程;(1)x(x-5)=3x;(2)2x(5x-1)=3(5x-1);(3)(35-2x)2-900=0.3.你能总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗?【归纳结论】把方程化成一边为0,另一边是两个一次因式的乘积的形式,然后使每一个一次因式等于0,分别解两个一元一次方程,得到的两个解就是原一元二次方程的解.4.说一说:因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程.【归纳结论】因式分解法适用于解一边为0,另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程.5.选择合适的方法解下列方程:(1)x2+3x=0;(2)5x2-4x-3=0;(3)x2+2x-3=0.按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程.6.如何选择合适的方法解一元二次方程呢?【归纳结论】公式法适用于所有一元二次方程.因式分解法(有时需要先配方)适用于所有一元二次方程.配方法是为了推导出求根公式,以及先配方,然后用因式分解法.总之,解一元二次方程的基本思路都是:将一元二次方程转化成为一元一次方程,即降次,其本质是把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积,即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2),其中x1和x2是方程ax2+bx+c=0的两个根.【教学说明】在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法,感受因式分解的作用以及能够解方程的依据.三、运用新知,深化理解1.用因式分解法解下列方程:(1)5x2+3x=0;(2)7x(3-x)=4(x-3).分析:(1)左边=x(5x+3),右边=0;(2)先把右边化为0,7x(3-x)-4(x-3)=0,找出(3-x)与(x-3)的关系.解:(1)因式分解,得x(5x+3)=0,于是得x=0或5x+3=0,x1=0,x2=-3/5;(2)原方程化为7x(3-x)-4(x-3)=0,因式分解,得(x-3)(-7x-4)=0,于是得x-3=0或-7x-4=0,x1=3,x2=-4/72.选择合适的方法解下列方程:(1)2x2-5x+2=0;(2)(1-x)(x+4)=(x-1)(1-2x).分析:(1)题宜用公式法;(2)题中找到(1-x)与(x-1)的关系用因式分解法;解:(1)a=2,b=-5,c=2,b2-4ac=(-5)2-4×2×2=9>0,x1=2,x2=1/2(2)原方程化为(1-x)(x+4)+(1-x)(1-2x)=0,因式分解,得(1-x)(5-x)=0,即(x-1)(x-5)=0,x-1=0或x-5=0,x1=1,x2=53.用因式分解法解下列方程:(1)10x2+3x=0;(2)7x(3-x)=6(x-3);(3)9(x-2)2=4(x+1)2.分析:(1)左边=x(10x+3),右边=0;(2)先把右边化为0,7x(3-x)-6(x-3)=0,找出(3-x)与(x-3)的关系;(3)应用平方差公式.解:(1)因式分解,得x(10x+3)=0,于是得x=0或10x+3=0,x1=0,x2=-3/10;(2)原方程化为7x(3-x)-6(x-3)=0,因式分解,得(x-3)(-7x-6)=0,于是得x-3=0或-7x-6=0,x1=3,x2=-6/7;(3)原方程化为9(x-2)2-4(x+1)2=0,因式分解,得[3(x-2)+2(x+1)][3(x-2)-2(x+1)]=0,即(5x-4)(x-8)=0,于是得5x-4=0或x-8=0,x1=4/5,x2=8.4.已知(a2+b2)2-(a2+b2)-6=0,求a2+b2的值.分析:若把(a2+b2)看作一个整体,则已知条件可以看作是以(a2+b2)为未知数的一元二次方程.解:设a2+b2=x,则原方程化为x2-x-6=0.a=1,b=-1,c=-6,b2-4ac=12-4×(-6)×1=25>0,x=,∴x1=3,x2=-2.即a2+b2=3或a2+b2=-2,∵a2+b2≥0,∴a2+b2=-2不合题意应舍去,取a2+b2=3.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“练习题2.2”中第5、6、9、10题.教学反思这节课主要学习了用因式分解法解一元二次方程的概念及其解法,解法的基本思路是将一元二次方程转化为一元一次方程,而达到这一目的,我们主要利用了因式分解“降次”.在今天的学习中,要逐步深入、领会、掌握“转化”这一数学思想方法.2.3一元二次方程根的判别式教学目标【知识与技能】能运用根的判别式,判别方程根的情况和进行有关的推理论证.【过程与方法】经历思考、探究过程,发展总结归纳能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点.【情感态度】积极参与数学活动,对其产生好奇心和求知欲.【教学重点】能运用根的判别式,判别方程根的情况和进行有关的推理论证.【教学难点】从具体题目来推出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的b2-4ac的情况与根的情况的关系.教学过程一、情景导入,初步认知同学们,我们已经学会了怎么解一元二次方程,对吗?那么,现在老师这儿还有一手绝活,就是:我随便拿到一个一元二次方程的题目,我不用具体地去解它,就能很快知道它的根的大致情况,不信呀!同学们可以随便地出两个题考考我.【教学说明】这样设计,能马上激发学生的学习兴趣和求知欲,为后面发现结论创造一个最佳的心理状态.二、思考探究,获取新知1.问题:什么是求根公式?它有什么作用?2.观察求根公式 回答下列问题:(1)当b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有几个根?(2)当b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有几个根?(3)当b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有几个根?3.综上所知,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况是由b2-4ac来判断的.【归纳结论】我们把b2-4ac叫做一元二次方程的根的判别式,通常用符号“Δ”表示.即:Δ=b2-4ac⑴当Δ=b2-4ac>0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等实数根即,.⑵当Δ=b2-4ac=0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根.⑶当Δ=b2-4ac<0时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.4.不解方程判定下列方程的根的情况.(1)3x2+4x-3=0(2)4x2=12x-9(3)7y=5(y2+1) 解:(1)因为Δ=b2-4ac=42-4×3×(-3)=52>0所以,原方程有两个不相等的实数根.(2)将原方程化为一般形式,得4x2-12x+9=0因为Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0所以,原方程有两个相等的实数根.(3)将原方程化为一般形式,得5y2-7y+5=0因为Δ=b2-4ac=(-7)2-4×5×5=-51<0所以,原方程没有实数根.【教学说明】学生从具体到抽象的观察、分析与概括能力并使学生从感性认识上升到理性认识,真正体验自己发现结论的成功乐趣.三、运用新知,深化理解1.已知方程x2+px+q=0有两个相等的实根,则p与q的关系是.【答案】 p2-4q=02.若方程x2+px+q=0的两个根是-2和3,则p,q的值分别为.【答案】 -1,-63.判断下列方程是否有解:(1)5x2-2=6x(2)3x2+2x+1=0解析:演算或口算出b2-4ac,从而判断是否有根解:(1)有(2)没有4.不解方程,判定方程根的情况.(1)16x2+8x=-3(2)9x2+6x+1=0(3)2x2-9x+8=0(4)x2-7x-18=0分析:不解方程,判定根的情况,只需用b2-4ac的值大于0、小于0、等于0的情况进行分析即可.解:(1)化为16x2+8x+3=0这里a=16,b=8,c=3,b2-4ac=64-4×16×3=-128<0所以,方程没有实数根.(2)a=9,b=6,c=1,b2-4ac=36-36=0,∴方程有两个相等的实数根.(3)a=2,b=-9,c=8b2-4ac=(-9)2-4×2×8=81-64=17>0∴方程有两个不相等的实根.(4)a=1,b=-7,c=-18b2-4ac=(-7)2-4×1×(-18)=121>0∴方程有两个不相等的实根.5.若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数解,求ax+3>0的解集(用含a的式子表示).分析:要求ax+3>0的解集,就是求ax>-3的解集,那么就转化为要判定a的值是正、负或0.因为一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根,即(-2a)2-4(a-2)(a+1)<0就可求出a的取值范围.解:∵关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0没有实数根.∴(-2a)2-4(a-2)(a+1)=4a2-4a2+4a+8<0∴a<-2∵ax+3>0即ax>-3,∴x<-3/a∴所求不等式的解集为x<-3/a6.已知关于x的一元二次方程x2+2x+m=0.(1)当m=3时,判断方程的根的情况;(2)当m=-3时,求方程的根.分析:(1)判断一元二次方程根的情况,只要看根的判别式Δ=b2-4ac的值的符号即可判断:当Δ>0,方程有两个不相等的实数根;当Δ=0,方程有两个相等的实数根;当Δ<0,方程没有实数根.(2)把m的值代入方程,用因式分解法求解即可.解:(1)∵当m=3时,Δ=b2-4ac=22-4×3=-8<0,∴原方程无实数根.(2)当m=-3时,原方程变为x2+2x-3=0,∵(x-1)(x+3)=0,∴x-1=0,x+3=0.∴x1=1,x2=-3.7.已知一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2.(1)求q关于p的关系式;(2)求证:抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点.分析:(1)根据一元二次方程的解的定义,把x=2代入已知方程即可求得q关于p的关系式;(2)由关于x的方程x2+px+q=0的根的判别式的符号来证明抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点.解:(1)∵一元二次方程x2+px+q+1=0的一根为2,∴4+2p+q+1=0,即q=-2p-5;(2)证明:令x2+px+q=0.则Δ=p2-4q=p2-4(-2p-5)=(p+4)2+4>0,即Δ>0,所以,关于x的方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根.即抛物线y=x2+px+q与x轴有两个交点.【教学说明】使学生能及时巩固本节课所学知识,培养学生自觉学习的习惯,同时对学有余力的学生留出自由的发展空间.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业:教材“习题2.3”中第1、2、3题.教学反思
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